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Systeme linearer Diffentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

Ein System von $ n$ linearen Differentialgleichungen für $ n$ gesuchte Funktionen läßt sich schreiben als $ \vec{x}'=A\vec{x}$ , wobei $ \vec{x}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^n$ bzw. $ \mathbb{R}\to\mathbb{C}^n$ eine gesuchte vektorwertige Funktion ist, und $ A$ eine $ n\times n$ -Matrix reeller oder komplexer Konstanten ist. Wir behandeln den komplexen Fall.

Formal kann das Anfangwertproblem

$\displaystyle \vec{x}'=A\vec{x},\ \vec{x}(0)=\vec{a}, \ \vec{a}\in\mathbb{C}^n$ gegeben$\displaystyle $

durch einen Potenzreihenansatz gelöst werden. Man erhält

$\displaystyle \vec{x}(t)=e^{tA}\vec{a}, e^{tA}=I+tA+\frac{t^2}{2!}A^2+\frac{t^3}{3!}A^3+\dots $

Zur Berechnung von $ e^{tA}$ verwenden wir die Jordan'sche Normalform $ J=T^{-1}AT$ , wobei die Spalten von $ T$ gewisse Verallgemeinerungen von Eigenvektoren sind, und $ J$ eine Diagonalblockmatrix mit Blöcken der Gestalt $ \begin{bmatrix}\lambda & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \dots & 0 \\
...
...ts & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & \lambda \end{bmatrix}$ sind, wobei $ \lambda$ ein Eigenwert ist. Zur Berechnung der Jordanschen Normalform wird auf das Skriptum von Erhard Aichinger verwiesen.

Vermittels der Jordanschen Normalform bekommt man die Jordansche Zerlegung

$\displaystyle A = N+H, NH=HN , $

in eine nilpotente Matrix $ N$ und eine diagonalisierbare Matrix $ H$ . Für kommutierende Matrizen (also Matrizen $ A,B$ mit $ AB=BA$ ) gilt $ e^{t(A+B)}=e^{tA}e^{tB}$ . Für nilpotente Matrizen bricht die Exponentialreihe ab, weil $ N^i=0$ ist für $ i\ge n$ . Falls $ D$ eine Diagonalmatrix mit Einträgen $ a_1,\dots,a_n$ ist, so ist $ e^{tD}$ eine Diagonalmatrix mit Einträgen $ e^{ta_1},\dots,e^{ta_n}$ . Für eine diagonalisierbare Matrix $ H=TDT^{-1}$ gilt $ e^{tH}=Te^{tD}T^{-1}$ .

Wenn alle Eigenwerte von $ A$ negativen Realteil haben, dann ist $ \lim_{t\to\infty}e^{tA}$ die Nullmatrix, und alle Lösungen des Differentialgleichungssystems konvergieren gegen den Nullpunkt. Der Nullpunkt ist dann ein asymptotisch stabiler Gleichgewichtspunkt.

Literatur:
[2, III.8.1-3]


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Josef Schicho 2016-01-17