Ein System von linearen Differentialgleichungen für gesuchte Funktionen läßt sich schreiben als , wobei bzw. eine gesuchte vektorwertige Funktion ist, und eine -Matrix reeller oder komplexer Konstanten ist. Wir behandeln den komplexen Fall.
Formal kann das Anfangwertproblem
durch einen Potenzreihenansatz gelöst werden. Man erhält
Zur Berechnung von verwenden wir die Jordan'sche Normalform , wobei die Spalten von gewisse Verallgemeinerungen von Eigenvektoren sind, und eine Diagonalblockmatrix mit Blöcken der Gestalt sind, wobei ein Eigenwert ist. Zur Berechnung der Jordanschen Normalform wird auf das Skriptum von Erhard Aichinger verwiesen.
Vermittels der Jordanschen Normalform bekommt man die Jordansche Zerlegung
in eine nilpotente Matrix und eine diagonalisierbare Matrix . Für kommutierende Matrizen (also Matrizen mit ) gilt . Für nilpotente Matrizen bricht die Exponentialreihe ab, weil ist für . Falls eine Diagonalmatrix mit Einträgen ist, so ist eine Diagonalmatrix mit Einträgen . Für eine diagonalisierbare Matrix gilt .
Wenn alle Eigenwerte von negativen Realteil haben, dann ist die Nullmatrix, und alle Lösungen des Differentialgleichungssystems konvergieren gegen den Nullpunkt. Der Nullpunkt ist dann ein asymptotisch stabiler Gleichgewichtspunkt.