Grundbegriffe

Definition 1   Ein dynamisches System ist eine Beschreibung von Funktionen in einer reellen (kontinuierliches System) oder natürlichen (diskretes System) Variablen durch Differentialgleichungen (im kontinuierlichen Fall) oder Rekursionsgleichungen (im diekreten Fall). Charakteristisch für die Beschreibung ist, daß das Verhalten der Funktionen, die durch diese Gleichung beschrieben ist, eindeutig von ihrem Wert an einer Anfangsstelle bestimmt ist (deterministisches System).

Definition 2   Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung zweier Funktionsterme, die aus folgenden Bausteinen gebildet werden:

• arithmetische Operationen ($+$ , $\cdot$ , $/$ );
• die Ableitung $D$ (bei partiellen Differentialgleichungen: partielle Ableitungen);
• bestimmte und unbestimmte Funktionssymbole;
• einsetzen in bestimmte Funktionen.

Die Funktionssymbole stehen für differenzierbare Funktionen in einer oder mehreren reellen oder komplexen Variablen. Bei gewöhnlichen Differentialgleichungen sind die unbestimmten Funktionen Funktionen einer Variablen.

Definition 3   Die Ordnung einer gewöhnlichen Differentialgleichung ist die höchste Ordung der Ableitung der unbestimmten Funktion, die in der Gleichung vorkommt.

Definition 4   Eine Differentialgleichung heißt linear, wenn sie sich schreiben läßt als $T(y)=0$ , wobei $y$ die gesuchte Funktion und $T$ ein linearer Differentialoperator ist.

Ein linearer Differentialoperator ist rekursiv definiert als

• der identische Operator $y\mapsto y$ ,
• der Ableitungsoperator $D:y\mapsto y'$ ,
• die Summe zweier Differentialoperatoren,
• die Hintereinanderausführung zweier Differentialoperatoren,
• oder das Produkt eines Differentialoperators mit einer bestimmten Funktion.

Satz 1   Die Lösungen einer linearen Differentialgleichungen bilden einen Vektorraum, m.a.W. die Lösungsmenge ist abgeschlossen bezüglich Addition und Multiplikation mit Konstanten.

Eine Differentialgleichung heißt autonom oder zeitunabhängig, wenn jede innerste Funktion entweder die gesuchte Funktion oder eine ihrer Ableitungen ist, so wie in

$$y^(k)(t) = F(y(t),y'(t),\dots,y^{(k-1)}(t) .$$

Die allgemeine Form der vektorwertigen autonomen Differentialgleichung erster Ordnung für eine Funktion $\vec{y}:\mathbb{R}\to U$ , wobei $U\subset\mathbb{R}^k$ und $k>0$ , ist

$$\forall t\in\mathbb{R}: \vec{y}'(t) = F(\vec{y}(t)) ,$$

wobei $F:U\to\mathbb{R}^k$ eine stetige Funktion ist. Diese Funktion wird auch als Vektorfeld oder Richtungsfeld bezeichnet.

Definition 5   Die obigen Begriffe (Ordnung, Linearität) sind in abgewandelter Form auch für Rekursionsgleichungen gültig. Bei Rekursionsgleichung wird der Funktionswert an einer Stelle $n$ gleichgesetzt mit einem Ausdruck in Funktionswerten an Stellen kleiner als $n$ . Wenn die kleinste dieser Stellen $n-k$ ist, dann heißt $k$ die Ordnung der Rekursionsgleichung.