\documentclass{article}
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\theoremstyle{plain}
\newtheorem{lem}{Lemma}
\newtheorem{prop}[lem]{Proposition}
\newtheorem{thm}[lem]{Satz}
\newtheorem{cor}[lem]{Corollary}
\newtheorem{axi}{Axiom}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{defn}{Definition}
\newtheorem{amp}{Example}
\theoremstyle{remark}
\newtheorem{rem}[lem]{Remark}

\def\N{\mathbb{N}}
\def\Z{\mathbb{Z}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\R{\mathbb{R}}
\def\C{\mathbb{C}}

\begin{document}

\title{S\"atze und Definitionen}

\section{Grundbegriffe}

\begin{defn}
Ein dynamisches System ist eine Beschreibung von Funktionen in einer reellen (kontinuierliches System) oder
nat\"urlichen (diskretes System) Variablen durch Differentialgleichungen (im kontinuierlichen Fall) oder
Rekursionsgleichungen (im diekreten Fall). Charakteristisch f\"ür die Beschreibung ist, da{\ss} das Verhalten
der Funktionen, die durch diese Gleichung beschrieben ist, eindeutig von ihrem Wert an einer Anfangsstelle
bestimmt ist (deterministisches System). 
\end{defn}

\begin{defn}
Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung zweier Funktionsterme, die aus folgenden Bausteinen
gebildet werden:
\begin{itemize}
\item arithmetische Operationen ($+$, $\cdot$, $/$);
\item die Ableitung $D$ (bei partiellen Differentialgleichungen: partielle Ableitungen);
\item bestimmte und unbestimmte Funktionssymbole;
\item einsetzen in bestimmte Funktionen.
\end{itemize}
Die Funktionssymbole stehen f\"ur differenzierbare Funktionen in einer oder mehreren
reellen oder komplexen Variablen. Bei gew\"ohnlichen Differentialgleichungen sind die
unbestimmten Funktionen Funktionen einer Variablen.
\end{defn}

\begin{defn}
Die Ordnung einer gew\"ohnlichen Differentialgleichung ist die h\"ochste Ordung
der Ableitung der unbestimmten Funktion, die in der Gleichung vorkommt.
\end{defn}

\begin{defn}
Eine Differentialgleichung hei{\ss}t linear, wenn sie sich schreiben l\"a{\ss}t als
$T(y)=0$, wobei $y$ die gesuchte Funktion und $T$ ein linearer Differentialoperator ist.

Ein linearer Differentialoperator ist rekursiv definiert als
\begin{itemize}
\item der identische Operator $y\mapsto y$,
\item der Ableitungsoperator $D:y\mapsto y'$,
\item die Summe zweier Differentialoperatoren,
\item die Hintereinanderausf\"uhrung zweier Differentialoperatoren,
\item oder das Produkt eines Differentialoperators mit einer bestimmten Funktion.
\end{itemize}
\end{defn}

\begin{thm}
Die L\"osungen einer linearen Differentialgleichungen bilden einen Vektorraum, m.a.W.
die L\"osungsmenge ist abgeschlossen bez\"uglich Addition und Multiplikation mit
Konstanten.
\end{thm}

Eine Differentialgleichung hei{\ss}t {\em autonom} oder {\em zeitunabh\"angig}, wenn jede
innerste Funktion entweder die gesuchte Funktion oder eine ihrer Ableitungen ist, so wie in
\[ y^(k)(t) = F(y(t),y'(t),\dots,y^{(k-1)}(t) . \]

Die allgemeine Form der vektorwertigen autonomen Differentialgleichung erster Ordnung f\"ur eine Funktion
$\vec{y}:\R\to U$, wobei $U\subset\R^k$ und $k>0$, ist
\[ \forall t\in\R: \vec{y}'(t) = F(\vec{y}(t)) , \]
wobei $F:U\to\R^k$ eine stetige Funktion ist. Diese Funktion wird auch als Vektorfeld
oder Richtungsfeld bezeichnet.


\begin{defn}
Die obigen Begriffe (Ordnung, Linearit\"at) sind in abgewandelter Form auch f\"ur Rekursionsgleichungen g\"ultig.
Bei Rekursionsgleichung wird der Funktionswert an einer Stelle $n$ gleichgesetzt mit einem Ausdruck
in Funktionswerten an Stellen kleiner als $n$. Wenn die kleinste dieser Stellen $n-k$ ist, dann
hei{\ss}t $k$ die Ordnung der Rekursionsgleichung.
\end{defn}

\section{R\"uckf\"uhrung auf Systeme erster Ordnung}

Es sei $D\subset\R$ ein offenes Intervall (m\"öglicherweise unbeschr\"ankt).
Eine Differentialgleichung f\"ur $x:D\to\R$ von Ordnung $k>1$ der Form
\[ \forall t\in D: x^{(k)}(t) = F(t,x(t),x'(t),\dots,x^{(k-1)}(t) ) , \]
wobei $F:D\times\R^k\to\R$ eine gegebene Funktion ist, l\"a{\ss}t sich durch Einf\"uhrung der Funktionen
\[ y_1=x, y_2=x',\dots, y_k=x^{(k-1)} \]
auf das System von Differentialgleichungen
\[ \forall t\in D: y_1'(t)=y_2(t), \dots, y_{k-1}'(t)=y_k(t), \]
\[ y_k'(t) = F(t,y_1(t),\dots,y_k(t) ) \]
zur\"uckf\"uhren. Dieses System kann auch aufgefa{\ss}t werden als eine Differentialgleichung
f\"ur eine vektorwertige Funktion $\vec{y}:D\to R^k$.

Die obige R\"uckf\"uhrung erh\"alt die Linearit\"at einer Differentialgleichung.

Durch die Einf\"uhrung einer neuen Variable $y_{k+1}:D\to\R$ und einer neuen Gleichung 
\[ \forall t\in D: y_{k+1}'(t)=1 \]
kann sogar auf den ``zeitunabh\"angigen'' oder ``autonomen'' Fall zur\"uckgef\"uhrt werden,
bei dem dir rechte Seite nicht von $t$ abh\"angt. Diese R\"uckf\"uhrung erh\"alt aber die Linearit\"at
nicht mehr.

Analoge R\"uckf\"uhrungen sind f\"ur den diskreten Fall m\"oglich. Hier kann auf Rekursionsgleichungen
erster Ordnung zur\"uckgef\"uhrt werden. 

\section{Trennung der Variablen}

\begin{thm}
Es seien $(a,b)$ und $(c,d)$ reelle Intervalle. Es seien $f:(a,b)\to\R$ und
$g:(c,d)\to\R$ stetige Funktionen, $g(y)\ne 0$ f\"ur alle $y\in (c,d)$.
Es sei $F:(a,b)\to\R$ und $G:(c,d)\to\R$ Stammfunktionen von $f$ und $\frac{1}{g}$.
Dann sind die L\"osungen der Differentialgleichung
\[ y'(x) = f(x) g(y(x)) \]
die Funktionen der Form $y(x)=G^{-1}(F(x)+C)$, wobei $C\in\R$ eine Konstante ist,
die so gew\"ahlt ist, da{\ss} $F(x)+C$ im Wertebereich von $G$ liegt.
\end{thm}

Abgek\"urzte Schreibweise:

\[ \frac{dy}{dx} = f(x) g(y) \]
\[ \frac{dy}{g(y)} = f(x) dx \]
\[ \int  \frac{dy}{g(y)} = \int f(x) dx + C \]
\[ G(y) = F(x) + C \]
\[ y = G^{-1}(F(x) + C) \]
Diese Schreibweise soll nur die rechnerische Durchf\"uhrung der Methode der Trennung der Variablen
erleichtern, als mathematische Herleitung der L\"osung ist sie nicht geeignet, da mehrere Zwischenschritte
offensichtlich formal fehlerhaft sind (angefangen damit, da{\ss} $y$ gleichzeitig als numerische Variable
und als Funktionsvariable auftritt).

\begin{thm}
Die ``Euler-homogene Differentialgleichung''
\[ y'(x) = f\left( \frac{y}{x} \right) \]
l\"a{\ss}t sich durch die Transformation $y(x)=xz(x), z(x)=\frac{y(x)}{x}$
auf eine Gleichung zur\"uckf\"uhren, bei der die Variablen getrennt werden k\"onnen.
\end{thm}

\begin{description}
\item[Literatur:] \cite[II.8,II.9]{Heuser}
\end{description}

\section{Integration in geschlossenen Ausdr\"ucken}

\begin{defn}
Ein Differentialk\"orper ist eine Menge von komplex-analytischen Funktionen, definiert
auf einer offenen Teilmenge von $\C$, die abgeschlossen ist bez\"uglich arithmetischen Operationen
und Ableitung, und die die Menge der rationalen Funktionen enth\"alt.
\end{defn}

\begin{defn}
Es sei $K$ ein Differentialk\"orper, $f_1,\dots,f_n\in K$ ungleich $0$. Dann hei{\ss}t der
K\"orper, der von $K$ und $e^{f_1},\dots,e^{f_n}$ erzeugt wird, eine exponentielle
Erweiterung von $K$.
\end{defn}

\begin{defn}
Es sei $K$ ein Differentialk\"orper, $f_1,\dots,f_n\in K$ ungleich $0$. Dann hei{\ss}t der
K\"orper, der von $K$ und $\log(f_1),\dots,\log(f_n)$ erzeugt wird, eine logarithmische
Erweiterung von $K$.
\end{defn}

\begin{defn}
Eine reelle oder komplexe Funktion hei{\ss}t elementar, wenn sie in einer iterierten 
[exponentiellen oder logarithmischen] Erweiterung des Differentialk\"orpers der rationalen
Funktionen enthalten ist.
\end{defn}

\begin{thm}[Liouville]
Es sei $K$ ein Differentialk\"orper, $f\in K$. Wenn $f$ eine Stammfunktion in einer
iterierten [exponentiellen oder logarithmischen] Erweiterung besitzt, dann hat $f$
bereits eine Stammfunktion in einer logarithmischen Erweiterung.
\end{thm}

Der Risch-sche Algorithmus entscheidet, ob eine gegebene elementare Funktion eine
elementare Stammmfunktion hat, und rechnet eine solche aus im Fall da{\ss} eine existiert.
Eine wesentliche Grundlage des Risch-schen Algorithmus ist die Partialbruchzerlegung von
rationalen Funktionen.

\begin{description}
\item[Literatur:] \cite{Bronstein}
\end{description}

\section{Gleichgewichtspunkte und Stabilit\"at (Definition)}

\begin{defn}
Es sei $k$ eine positive ganze Zahl, $U$ eine offene zusammenh\"angende Teilmenge des $\R^k$,
$F:U\to\R^k$ ein Vektorfeld. Eine Punkt $x\in U$ hei{\ss}t {\em Gleichgewichtspunkt} oder
{\em Equilibrium} von $F$ wenn $F(x)=0$ ist.
\end{defn}

F\"ur jeden Gleichgewichtspunkt $x$ hat die Differentialgleichung $\vec{y}'(t)=F(\vec{y}(t))$ eine
konstante L\"osung $t\mapsto x$.

\begin{defn}
Ein Gleichgewichtspunkt $x\in U$ hei{\ss}t {\em stabil}, wenn f\"ur jedes $\epsilon>0$ ein $\delta>0$
existiert, soda{\ss} jede L\"osung $\vec{y}$ mit Startwert $||\vec{y}(0)-x||<\delta$ f\"ur $t>0$ definiert
ist und dort $||\vec{y}(t)-x||<\epsilon$ erf\"ullt.

Ein stabiler Gleichgewichtspunkt hei{\ss}t {\em asymptotisch stabil}, wenn zus\"atzlich gilt: es existiert
$\epsilon>0$, soda{\ss} jede f\"ur L\"osung $\vec{y}$ mit Startwert $||\vec{y}(0)-x||<\epsilon$ gilt:
\[ \lim_{t\to\infty} \vec{y}(t) = x . \]
\end{defn}

F\"ur diskrete dynamische Systeme der Form 
\[ \forall n\in\N: y_{n+1}=F(y_n) , \]
wobei $F:U\to U$ eine stetige Funktion ist, wird Stabilit\"at bzw. asymptotische Stabilit\"at
genauso definiert wird (hier steht dann $t$ ausnahmsweise f\"ur eine nat\"urliche Zahl).

\begin{description}
\item[Literatur:] \cite[I.1.3]{HaleKocak}, \cite[X.65]{Heuser}
\end{description}

\section{Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten}

Die allgemeine Gestalt der skalaren linearen Differentialgleichung von Ordnung $k$ ist
\begin{equation} \label{eq:lin}
  y^{(k)}+a_1y^{(k-1)}+\dots+a_{k-1}y'+a_k y = 0 , 
\end{equation}
wobei $a_1,\dots,a_k$ reelle oder komplexe Konstanten sind, und $y:\R\to\R$ bzw. $\R\to\C$ die
unbestimmte Funktion ist. (Die obige Gleichung ist als Gleichheit von Funktionen zu verstehen,
auf der rechten Seite steht die Nullfunktion $t\mapsto 0$.) Wir behandeln in erster Linie den reellen Fall.

Wir bezeichnen die Menge aller beliebig oft differenzierbaren Definitionen von $\R$ nach $\R$
mit $C^\infty(\R)$.
Die linke Seite von (\ref{eq:lin}) l\"a{\ss}t sich schreiben als $F(y)=0$, wobei
$F:C^\infty(\R)\to C^\infty(\R)$ der Operator
\[ f \mapsto f^{(k)}+a_1f^{(k-1)}+\dots+a_{k-1}f'+a_k f \]
ist.
Das charakteristische Polynom von (\ref{eq:lin}) ist
$P(T)=P_F(T)=T^n+a_1T^{n-1}+\dots+a_{n-1}T+a_n$.

\begin{thm} \label{thm:iso}
Es seien $F_1,F_2$ lineare Differentialoperatoren mit konstanten Koeffizienten.
Dann ist $F_1\circ F_2$ wieder linearer Differentialoperator mit konstanten Koeffizienten.
Es gilt 
\[ P_{F_1\circ F_2} = P_{F_1}P_{F_2} = P_{F_2\circ F_1} . \]
\end{thm}

%\begin{lem} \label{lem:lin}
%Es seien $F_1,F_2$ lineare Differentialoperatoren mit konstanten Koeffizienten.
%Der ggT der beiden charakteristischen Polynome $P_{F_1},P_{F_2}$ sei $1$.
%Dann l\"a{\ss}t sich jede L\"osung der Gleichung $F_1(F_2(y))=0$ eindeutig darstellen
%als $y_1+y_2$, wobei $F_1(y_1)=0$ und $F_2(y_2)=0$ gilt.
%\end{lem}
%
%\begin{proof}
%Es seien $G_1,G_2$ Differenzialoperatoren mit konstanten Koeffizienten,
%soda{\ss} $P_{G_1}P_{F_1}+P_{G_2}P_{F_2}=1$ gilt. Dann ist der Operator
%\[ f \mapsto G_1(F_1(f))+G_2(F_2(f)) \]
%der identische Operator. 
%
%Es sei $y_0$ eine L\"osung von $F_1(F_2(y))=0$. Wir setzen 
%\[ y_1 := G_2(F_2(y_0)), y_2 := G_1(F_1(y_0)) . \]
%Dann ist $y_0=y_1+y_2$ und $F_1(y_1)=F_1(G_2(F_2(y_0)))=G_2(F_1(F_2(y_0)))=G_2(0)=0$ und
%$F_2(y_2)=F_2(G_1(F_1(y_0)))=G_1(F_1(F_2(y_0)))=G_1(0)=0$.
%\end{proof}

\begin{thm}
Es sei $F(y)=0$ eine lineare Differentialgleichung $n$-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.
Es sei 
\[ P(T) = (T-\lambda_1)^{e_1}\dots(T-\lambda_m)^{e_m} , e_1+\dots+e_m=n \]
die Zerlegung vom charakteristischen Polynom in komplexe Linearfaktoren.
Dann sind die L\"osungen von $F(y)=0$ genau die Linearkombinationen der L\"osungen
\[ e^{\lambda_1 x},\dots,e^{\lambda_1 x}x^{e_1-1},\dots,e^{\lambda_m x},\dots,e^{\lambda_m x}x^{e_m-1} . \]
Insbesondere bilden die L\"osungen einen Vektorraum der Dimension $n$.
\end{thm}

Im reellen Fall erh\"alt man durch den obigen Satz nur eine Basis von komplexwertigen 
L\"osungen. Diese lassen sich aber mit Hilfe der Eulerschen Formeln durch reelle Basisl\"osungen
ersetzen. Zum Beispiel erzeugen die Funktionen $y_1,y_2:\R\to\C$,
\[ y_1(t)=e^{(a+bi)t}, y_2(t)=e^{(a-bi)t} \]
\"uber $\C$ den selben Vektorraum wie die Funktionen $x_1,x_2:\R\to\R$
\[ x_1(t)=e^{at}\cos(bt), x_2(t)=e^{at}\sin(bt) . \]
Die Funktionen $x_1,x_2$ sind jedoch reellwertig und erzeugen \"uber $\R$ alle reellwertigen
L\"osungen.

%\begin{proof}
%Mit Hilfe von Lemma~\ref{lem:lin} kann man auf den Fall $m=1$ reduzieren.
%
%F\"ur $\lambda=0$ ist die Aussage die, da{\ss} die L\"osungen von $y^{(e)}=0$ genau die
%Polynomfunktionen von Grad h\"ochstens $e-1$ sind. 
%
%Der allgemeine Fall l\"a{\ss}t sich auf den Fall $\lambda=0$ zur\"uckf\"uhren, sobald
%man gezeigt hat, da{\ss} der Differentialoperator 
%\[ f \mapsto \left( x\mapsto e^{\lambda x}\frac{d^e e^{-\lambda x}f(x)}{dx^e} \right)\]
%wieder konstante Koeffizienten hat und das charakteristische Polynom $(T-\lambda)^e$ hat.
%
%Diese Behauptung wiederum l\"a{\ss}t sich zeigen, indem man sie f\"ur $e=1$ durch nachrechnen
%zeigt, und dann Satz~\ref{thm:iso} verwendet.
%\end{proof}

Beim Anfangswertproblem sind zus\"atzlich zur Gleichung ~\ref{eq:lin} die Anfangsbedingungen
\begin{equation} \label{eq:ab}
y(a)=b_0, y'(a)=b_1,\dots, y^{(n-1)}(a)= b_{n-1}
\end{equation}
vorgegeben, wobei $a,b_0,\dots,b_{n-1}$ gegebene reelle oder komplexe Zahlen sind.

\begin{thm}
Das Anfangswertproblem ~\ref{eq:lin},\ref{eq:ab} besitzt eine eindeutige L\"osung.

Wenn $y_1,\dots,y_n$ eine Basis des L\"osungsraumes ist, dann ist die Wronskische Determinante
$\begin{bmatrix} y_1(a) & y_1'(a) & \dots & y_1^{(n-1)}(a) \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 
y_n(a) & y_n'(a) & \dots & y_n^{(n-1)}(a) \end{bmatrix} $
ungleich 0.
\end{thm}

%\begin{proof}
%Die beiden Behauptungen sind equivalent, es reicht, die erste zu zeigen. Wir wissen bereits,
%da{\ss} die L\"osungen analytisch sind, also eine \"uberall konvergente Potenzreihe besitzen.
%Der Potenzreihenansatz 
%\[ y(t)= b_0+b_1 t+\frac{b_2}{2!}t^2+\dots +\frac{b_n}{n!}t^n+\dots \]
%ergibt eine rekursive Definition der Folge $(b_i)_i$, deren erste $n$ Glieder durch die
%Anfangsbedingungen vorgegeben sind.
%\end{proof}

\begin{description}
\item[Literatur:] \cite[IV.15]{Heuser}
\end{description}

\section{Lineare Rekursionen mit konstanten Koeffizienten}

Die allgemeine Gestalt der skalaren linearen Rekursion von Ordnung $k$ mit konstanten Koeffizienten ist
\begin{equation} \label{eq:lin}
  \forall n\in\N: y_{n+k}+a_1y_{n+k-1}+\dots+a_{k-1}y_{n-1}+a_k y_n = 0 , 
\end{equation}
wobei $a_1,\dots,a_k$ reelle oder komplexe Konstanten sind, und $y:\R\to\R$ bzw. $\R\to\C$ die
unbestimmte Funktion ist. %Wir behandeln in erster Linie den reellen Fall.

Wir bezeichnen die Menge aller Folgen in $\R$ mit $\R^{\N}$.
Die linke Seite von (\ref{eq:lin}) l\"a{\ss}t sich schreiben als $F(y)=0$, wobei
$F:\R^{\N}\to\R^{\N}$ der Operator
\[ (f_n)_n \mapsto f^{(k)}+a_1f^{(k-1)}+\dots+a_{k-1}f'+a_k f \]
ist.
Das charakteristische Polynom von (\ref{eq:lin}) ist
$P(T)=P_F(T)=T^n+a_1T^{n-1}+\dots+a_{n-1}T+a_n$.

Die Menge der Operatoren $\R^{\N}\to\R^{\N}$, die in der Form wie oben dargestellt werden k\"onnen,
bildet mit der punktweisen Addition und der Komposition als Multiplikation einen Ring. Dieser
ist kommutativ und isomorph zum Polynomring $\R[T]$. Die Variable $T$ entspricht dem Shift-Operator
$(f_n)_n\mapsto (f_{n+1})_n$.

Nach Theorem~\ref{thm:iso} ist $\R[T]$ auch isomorph zum Ring der linearen Differentialoperatoren
mit konstanten Koeffizienten. Daher sind auch die beiden Operatorenringe isomorph. F\"ur jede analytische
Funktionen $f$ und jeden Differentialoperator $F$ bildet der entsprechende Folgenoperator die Folge der
Ableitungen von $f$ bei $0$ auf die Folge der Ableitungen von $F(f)$ bei $0$ ab.

\begin{thm}
Es sei $F(y)=0$ eine lineare Rekursionsgleichung $k$-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.
Es sei 
\[ P(T) = (T-\lambda_1)^{e_1}\dots(T-\lambda_m)^{e_m} , e_1+\dots+e_m=n \]
die Zerlegung vom charakteristischen Polynom in komplexe Linearfaktoren.
Dann sind die L\"osungen von $F(y)=0$ genau die Linearkombinationen der Folgen
\[ ({\lambda_1}^n)_n ,\dots,({\lambda_1}^nn{e_1-1})_n,\dots,({\lambda_m})^n)_n,\dots,({\lambda_m}^nn^{e_m-1})_n . \]
\end{thm}

Die Parallele zu den linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
l\"a{\ss}t sich wie folgt erkl\"aren. Es sei ${\cal A}$ die Menge der analytischen
Funktionen $\R\to\R$, deren Taylorentwicklung bei $0$ den Konvergenzradius unendlich hat.
Es sei ${\cal F}$ die Menge aller Folgen $(a_n)_n$, f\"ur die $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{|a_n|}{n!}}=0$
ist. Dann ist durch $\rho:{\cal A}\to{\cal F}$ und $\sigma:{\cal F}\to{\cal A}$,
\[ \rho(f) := (f^{(n)}(0))_n , \hspace{2cm} \sigma((a_n)_n)= \left(x\mapsto \sum_{n=0}^\infty a_n\frac{x^n}{n!}\right) \]
ein Isomorphismus gegeben, der den L\"osungsraum der linearen Differentialgleichung
in den L\"osungsraum der Rekursion mit gleichem charakteristischem Polynom \"uberf\"uhrt.

\begin{description}
\item[Literatur:] \cite[III.15.1]{HaleKocak}
\end{description}

\section{Variation der Konstanten}

Die allgemeine Gestalt der inhomogenen linearen Differentialgleichung ist
\begin{equation} \label{eq:inh}
  y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\dots+a_{n-1}y'+a_n y = f , 
\end{equation}
wobei $a_1,\dots,a_n$ reelle oder komplexe Konstanten sind, und $y:U\to\R$ eine gesuchte
Funktion von einer offenen Menge $U\subset\R$ nach $\R$ ist, und $f:U\to\R$ eine gegebene stetige Funktion ist.

Es sei $y_1,\dots,y_n$ eine Basis f\"ur den Vektorraum der L\"osungen, und $C_1,\dots,C_n:U\to\R$ 
stetig differenzierbare Funktionen, die das Gleichungssystem
\[  C_1'y_1+\dots+C_n'y_n=0, \]
\[  C_1'y_1'+\dots+C_n'y_n'=0, \]
\[ \dots, \]
\[ C_1'y_1^{(n-2)}+\dots+C_n'y_n^{(n-2)}=0, \]
\[ C_1'y_1^{(n-1)}+\dots+C_n'y_n^{(n-1)}=f \]
erf\"ullen. Diese Funktionen k\"onnen durch L\"osen eines linearen Gleichungssystems und anschlie{\ss}end
Integration gefunden werden. Es existiert immer eine L\"osung des Gleichungssystems, weil die 
Wronskische Determinante ungleich 0 ist. Dann ist $C_1y_1+\dots+C_ny_n$ eine spezielle L\"osung
der inhomogenen Gleichung ~\ref{eq:inh}.

Die Methode der Variation der Konstanten funktioniert auch, wenn $a_1,\dots,a_n$ keine reellen
Konstanten, sondern stetige Funktionen von $U$ nach $\R$ sind. Wir werden sp\"ater zeigen,
da{\ss} $n$ Basisl\"osungen f\"ur die homogene Gleichung existieren und da{\ss} die Wronskische
Determinante auch in diesem Fall ungleich $0$ ist.

\begin{description}
\item[Literatur:] \cite[IV.16,V.24]{Heuser}
\end{description}

\section{Reduktion der Ordnung von linearen Differentialgleichungen}

Die allgemeine Gestalt der linearen Differentialgleichung von Ordnung $n$ mit variablen Koeffizienten ist
\begin{equation} \label{eq:inh1}
  \forall t: y^{(n)}(t)+a_1(t)y^{(n-1)}(t)+\dots+a_{n-1}(t)y'(t)+a_n(t) y(t) = f(t) , 
\end{equation}
wobei $y$ die gesuchte Funktion von $D\subset\R$ nach $\R$ ist, und $a_1,\dots,a_n,f:D\to\R$
gegebene stetige Funktionen sind.

F\"ur $n=1$ ist die Methode der Trennung der Variablen anwendbar.

F\"ur $n>1$ gibt es im allgemeinen keine Darstellung der L\"osung durch Integrale (dies ist ein Resultat
der Differential-Galoistheorie). Man kann aber die Ordnung reduzieren, wenn eine L\"osung bekannt ist:
Es sei $u:D\to\R$ eine L\"osung der Differentialgleichung~\ref{eq:inh1}, die auf $D$ nirgends $0$ ist.
Dann setzt man $y=uz$ in die Gleichung \ref{eq:inh1} ein und vereinfacht. Nach einer Division durch $u$
erh\"alt man eine Differentialgleichung der Ordung $n$ f\"ur $z$, in welcher der Koeffiezient von $z$ Null ist.
Diese Gleichung kann man auffassen als eine Gleichung f\"ur $z'$ der Ordnung $n-1$.

\begin{description}
\item[Literatur:] \cite[V.23]{Heuser}
\end{description}

\section{Systeme linearer Diffentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten}

Ein System von $n$ linearen Differentialgleichungen f\"ur $n$ gesuchte Funktionen l\"a{\ss}t sich schreiben
als $\vec{x}'=A\vec{x}$, wobei $\vec{x}:\R\to\R^n$ bzw. $\R\to\C^n$ eine gesuchte vektorwertige Funktion ist,
und $A$ eine $n\times n$-Matrix reeller oder komplexer Konstanten ist. Wir behandeln den komplexen Fall.

Formal kann das Anfangwertproblem
\[ \vec{x}'=A\vec{x},\ \vec{x}(0)=\vec{a}, \ \vec{a}\in\C^n\mbox{ gegeben} \]
durch einen Potenzreihenansatz gel\"ost werden. Man erh\"alt
\[ \vec{x}(t)=e^{tA}\vec{a},  e^{tA}=I+tA+\frac{t^2}{2!}A^2+\frac{t^3}{3!}A^3+\dots \]
Zur Berechnung von $e^{tA}$ verwenden wir die Jordan'sche Normalform $J=T^{-1}AT$, wobei
die Spalten von $T$ gewisse Verallgemeinerungen von Eigenvektoren sind, und $J$ eine
Diagonalblockmatrix mit Bl\"ocken der Gestalt 
$\begin{bmatrix} \lambda & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \dots & 0 \\ 
  \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\0 & 0 & 0 & \dots & \lambda \end{bmatrix}$
sind, wobei $\lambda$ ein Eigenwert ist. Zur Berechnung der Jordanschen Normalform wird
auf das Skriptum von Erhard \htmladdnormallink{Aichinger}{http://www.algebra.uni-linz.ac.at/Students/LineareAlgebra/linalg1ws10/lineareAlgebraSkriptum06102010.pdf}
verwiesen.

Vermittels der Jordanschen Normalform bekommt man die Jordansche Zerlegung
\[ A = N+H, NH=HN , \]
in eine nilpotente Matrix $N$ und eine diagonalisierbare Matrix $H$. F\"ur kommutierende Matrizen
(also Matrizen $A,B$ mit $AB=BA$) gilt $e^{t(A+B)}=e^{tA}e^{tB}$. F\"ur nilpotente Matrizen
bricht die Exponentialreihe ab, weil $N^i=0$ ist f\"ur $i\ge n$. Falls $D$ eine Diagonalmatrix mit
Eintr\"agen $a_1,\dots,a_n$ ist, so ist $e^{tD}$ eine Diagonalmatrix mit Eintr\"agen 
$e^{ta_1},\dots,e^{ta_n}$. F\"ur eine diagonalisierbare Matrix $H=TDT^{-1}$ gilt
$e^{tH}=Te^{tD}T^{-1}$.

Wenn alle Eigenwerte von $A$ negativen Realteil haben, dann ist $\lim_{t\to\infty}e^{tA}$ die
Nullmatrix, und alle L\"osungen des Differentialgleichungssystems konvergieren gegen den
Nullpunkt. Der Nullpunkt ist dann ein asymptotisch stabiler Gleichgewichtspunkt.

\begin{description}
\item[Literatur:] \cite[III.8.1-3]{HaleKocak}
\end{description}

\section{Variation der Konstanten f\"ur Systeme}

Es sei $D\subset\R$ ein reelles Intervall.
Es sei $D\to\R^{n\times n}$ eine matrix-wertige stetige Funktion.
F\"ur eine vektorwertige Funktion $y:D\to\R$ betrachtet man die homogene lineare Differentialgleichung
mit variablen Koeffizienten
\begin{equation} \label{eq:sl}
  \forall t: y'(t)-A(t)y(t)=0 .  
\end{equation}
Nach dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz (wird sp\"ater behandelt) ist das Anfangswert f\"ur diese
Gleichung f\"ur jede Stelle $t_0$ und Anfanswert $x_0\in\R^n$ eindeutig l\"osbar. F\"ur fixes $t_0$ definieren
wir eine matrix-wertige Funktion $B_{t_0}:D\to\R^{n\times n}$, deren $m$-te Spalte die L\"osung von
Gleichung~\ref{eq:sl} mit $y_m(t_0)=e_m$ (der $m$-te Einheitsvektor) ist. Wegen der Linearit\"at
ist die L\"osung mit Anfangsvektor $y(t_0)=x$ gleich $y(t)=B_{t_0}(t)x$. F\"ur jedes $t_0\in D$ und $t$ ist
$B_{t_0}(t)$ invertierbar, die inverse Matrix ist $B_t(t_0)$. Die Matrixfunktion $B_{t_0}$ erf\"ullt
die Differentialgleichung $(B_{t_0})'=AB_{t_0}$.

Wenn $B_t$ bekannt ist, kann man die inhomogene Gleichung
\begin{equation} \label{eq:isl}
  \forall t: y'(t)-A(t)y(t)=b(t) ,
\end{equation}
wobei $b:D\to\R^n$ eine gegebene stetige Funktion ist, durch den Ansatz $y(t)=B_{t_0}z(t)$ l\"osen.
Nach Einsetzen und K\"urzen erh\"alt man $B_{t_0}(t)z'(t)=b(t)$ oder \"aquivalent dazu
\[ z'(t) = (B_{t_0}(t))^{-1}b(t) , \]
und eine spezielle L\"osung von (\ref{eq:isl}) kann durch Integration berechnet werden.
Die allgemeine L\"osung von (\ref{eq:isl}) l\"a{\ss}t sich schreiben als spezielle L\"osung plus
allgemeine L\"osung der homogenen Gleichung (\ref{eq:sl}).

\begin{description}
\item[Literatur:] \cite[VIII.58]{Heuser}
\end{description}

\section{Existenz und Eindeutigkeit}

Ein metrischer Raum $X$ mit Metrik $d:X\times X\to\R$ hei{\ss}t vollst\"andig,
wenn jede Cauchy-Folge in $X$ einen Grenzwert in $X$ hat. 

Es sei $D\subset\R$ ein (offenes oder geschlossenes, beschr\"anktes oder unbeschr\"anktes)
Intervall. Es sei $C^0_b(D,\R^k)$ die Menge der stetigen und beschr\"ankten Funktionen
von $D$ nach $\R^k$.

\begin{thm}
Die Menge $C^0_b(D,\R^k)$ ist bez\"uglich der Norm $(f,g)\mapsto\sup_{x\in D}||f(x)-g(x)||$
stetig, wobei $||\cdot ||$ die Euklidische Norm auf $\R^k$ ist.
\end{thm}

\begin{proof}
Es sei $(f_n)_n$ eine Cauchy-Folge von stetigen Funktionen. F\"ur jedes $x$ ist dann auch
die Folge der Funktionswerte $(f_n(x))_n$ Cauchy, weil $|f_m(x)-f_m(x)|\le d(f_m,f_n)$ gilt.
Die reellen Zahlen sind vollst\"andig, daher existiert der Grenzwert und wir k\"onnen
die Grenzfunktion $\bar{f}:D\to\R$ definieren durch $\bar{f}(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)$.

Um zu zeigen da{\ss} $\bar{f}$ stetig ist, w\"ahlen wir $\epsilon>0$ und $n$ so,
da{\ss} $d(f_n,\bar{f})<\epsilon/3$ ist. Wir w\"ahlen auch ein kompaktes Teilintervall
$I\subset D$, in diesem ist $f_n$ gleichm\"a{\ss}ig stetig und es existiert $\delta$
mit $|f_n(x)-f_n(y)|\le\epsilon/3$. Dann ist wegen der Dreiecksungleichung
$|\bar{f}(x)-\bar{f}(y)|\le |\bar{f}(x)-f_n(x)|+|f_n(x)-f_n(y)|+|f_n(y)-\bar{f}(y)|
  <\epsilon/3+\epsilon/3+\epsilon/3=\epsilon$ f\"ur alle $x,y\in I$ mit $|x-y|<\delta$,
also ist $\bar{f}$ gleichm\"a{\ss}ig stetig in $I$. Das gilt f\"ur jedes kompakte Teilintervall,
daher ist $\bar{f}$ in ganz $D$ stetig.
\end{proof}

\begin{thm}[Banachscher Fixpunktsatz] \label{thm:b}
Es sei $X$ ein vollst\"andiger metrischer Raum und $f:X\to X$ eine kontrahierende
Abbildung, das hei{\ss}t es existiert $c<1$ soda{\ss} f\"ur alle $x,y\in X$ gilt
$d(f(x),f(y))\le cd(x,y)$. Dann besitzt $f$ einen eindeutigen Fixpunkt.
\end{thm}

\begin{thm}[Picard/Lindel\"of] \label{thm:pl}
Es sei $D$ ein Intervall (offen oder abgeschlossen, beschr\"ankt oder unbeschr\"ankt), $k$ eine
positive ganze Zahl,
$F:D\times\R^k\to\R^k$ eine stetige Funktion, die die Lipschitz-Bedingung erf\"ullt: 
es existiert eine Konstante $L\in\R$, soda{\ss} f\"ur alle $x\in D, y,z\in\R^k$ gilt
$||F(x,y)-F(x,z)||\le L||y-z||$. Es sei $x_0\in D$, $y_0\in\R^k$. Dann hat das Anfangswertproblem
\[ y'(x)=F(x,y(x)), \ y(x_0)=y_0 \]
eine eindeutige L\"osung $y:D\to\R^k$.
\end{thm}

\begin{proof}
Wir beweisen den Satz zun\"achst f\"ur ein kompaktes Teilintervall $I=[a,b]$ in $D$.
Wir definieren den Operator $P:C^0_b(I)\to C^0_b(I)$ durch
\[ f \mapsto P(f), P(f)(x)=y_0+\int_{x_0}^x F(t,f(t))dt \]
Jede L\"osung des Anfangwertproblems ist ein Fixpunkt von $P$, und umgekehrt
ist jeder Fixpunkt differenzierbar und l\"ost das Anfangswertproblem.
Durch Absch\"atzen des Integrals zeigt man die Ungleichung
\[ d(P(f),P(g)) \le L(b-a) d(f,g) \]
f\"ur alle $f,g\in C^0_b(I)$. 

Falls $L(b-a)<1$ ist, gilt die Existenz und Eindeutigkeit wegen Satz~\ref{thm:b}. 
Im allgemeinen Fall, bzw. falls $D$ nicht kompakt ist, kann man $D$ \"uberdecken durch
\"uberlappende kompakte Teilintervalle und bekommt die Existenz und Eindeutigkeit
durch Fortsetzen der L\"osung auf den Teilintervallen.
\end{proof}

Der Satz von Picard/Lindel\"of gilt auch f\"ur 
Differentialgleichungen h\"oherer Ordnung, weil diese durch
Einf\"uhrung von Geschwindigkeitskoordinaten auf vektorielle Differentialgleichungen
zur\"uckgef\"uhrt werden k\"onnen. Hier sind auch die Werte der Ableitungen bis zur Ordnung minus 1
an der Anfangsstelle vorzugeben.

\begin{description}
\item[Literatur:] \cite[III.12, IX.60]{Heuser}
\end{description}

\section{Folgerungen aus Picard/Lindel\"of}

\begin{thm} \label{thm:pll}
Es sei $n\in\N$.
Es seien $a_1,\dots,a_n,b:D\to\R$ stetige Funktionen, $x_0\in D$, $y_0,\dots,y_{n-1}\in\R$.
Dann hat das Anfangswertproblem
\[ y^{(n)}(x)+a_1(x)y^{(n-1)}(x)+\dots+a_n(x)y(x)=b(x), 
  y(x_0)=y_0,\dots,y^{(n-1)}(x_0)=y_{n-1} \]
eine eindeutige L\"osung.
\end{thm}

\begin{proof}
Auf jedem kompakten Teilintervall erf\"ullt die Funktion $F:D\times R^n\to\R^n$,
\[ (x,y_0,\dots,y_{n-1})\mapsto (y_1,\dots,y_{n-1},b(x)-a_1(x)y_{n-1}-\dots-a_n(x)y_0) \]
eine Lipschitzbedingung. Daher kann man die vektorielle Version von Satz~\ref{thm:pl} anwenden.
\end{proof}

Aus dem Beweis (nicht in dieser Zusammenfassung enthalten) des Banachschen 
Fixpunktsatzes~\ref{thm:b} erh\"alt man die Absch\"atzung f\"ur die
Entfernung zum Fixpunkt $\bar{x}$:
\[ d(x,\bar{x}) \le \frac{d(x,f(x))}{1-c} . \]
Diese Absch\"atzung erlaubt, die Genauigkeit einer N\"aherungsl\"osung abzusch\"atzen.

Wir betrachten zum Beispiel das Euler'sche Polygonzugverfahren. 
Es sei $F:\R\to\R$ Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante $L$. Es seien $a,b,y_0\in\R$, $x_0\in [a,b]$.
Wir approximieren die L\"osung des Anfangswertproblems $y'(x)=F(y(x))$, $y(a)=y_0$ wie folgt:
Zuerst wird das Intervall unterteilt in $N$ gleich gro{\ss}e Teilintervalle. Wir setzen
$h:=\frac{b-a}{N}$, $x_i:=a+ih$ und f\"ur $i=0,\dots,N$ (d.h. $x_0=a,x_N=b$).
DDann setzen wir $p_i=F(y_i)$ und $y_{i+1}:=y_i+p_ih$ f\"ur $i=0,\dots,N-1$.
Die approximierende Funktion ist nun die st\"uckweise lineare Funktion $z$, f\"ur die $z(x_i)=y_i$ gilt:
im Intervall $x\in [x_i,x_{i+1}]$ ist $z(x)=y_i+p_i(x-x_i)$.
In jedem Intervall gilt die Absch\"atzung
\[ \left|y_{i+1}-y_i-\int_{x_i}^{x_{i+1}}F(z(t))dt\right| = 
 \left|F(y_i)h-\int_{x_i}^{x_{i+1}}F(z(t)))dt\right| = \]
\[ \left|\int_{x_i}^{x_{i+1}}(F(y_i)-F(z(t))dt\right| \le 
 L\left|\int_{x_i}^{x_{i+1}}(y_i)-z(t))dt\right| = \] 
\[ L\left|\int_{x_i}^{x_{i+1}} p_i(t-x_i) dt \right| = Lp_i\frac{h^2}{2}=\frac{Lp_i(b-a)^2}{2N^2} . \]
Die Distanz $d(z,P(z))$ kann abgesch\"atzt werden durch die Summe von h\"ochstens $N$ der Teil-Absch\"atzungen,
und das ist nach oben beschr\"ankt durch $\frac{LM(b-a)^2}{2N}$, wobei $M$ eine obere Schranke f\"ur $F$ ist.
F\"ur gro{\ss}e $N$ geht der Fehler gegen Null.

Um die Abh\"angigkeit der L\"osung vom Anfangswert zu untersuchen, nehmen wir an,
da{\ss} $f,g$ beide die Differentialgleichung erf\"ullen, aber verschiedene
Anfangswerte haben: $f(x_0)=y_0$, $g(x_0)=z_0$. Dann betrachtet man $g$ als
N\"aherungsl\"osung f\"ur das Anfangswertproblem mit Anfangsbedingung $y(x_0)=y_0$
und bekommt die Absch\"atzung $|f(x_1)-g(x_1)|\le\frac{|y_0-z_0|}{1-L|x_1-x_0|}$
im Fall da{\ss} der Nenner positiv ist. Andernfalls f\"uhrt Unterteilung des
Intervalls zu einer Absch\"atzung, die allerdings exponentiell in der L\"ange des Intervalls ist.

Die Stetigkeit in den Anfangsbedingung ist auch f\"ur den vektoriellen Fall
erf\"ullt (mit einer \"ahnlichen Absch\"atzung).

Wenn die rechte Seite der Differentialgleichung stetig von Parametern abh\"angt,
dann ist die L\"osung ebenfalls stetig in den Parametern. Das l\"a{\ss}t sich dadurch
zeigen, da{\ss} man die Parameter als zus\"atzliche Koordinaten der gesuchten Funktion
einf\"uhrt, deren Ableitung konstant gleich $0$ ist.

\begin{description}
\item[Literatur:] \cite[III.13]{Heuser}
\end{description}

\section{Der Flu{\ss} eines Vektorfeld}

Es sei $F:\R^n\to\R^n$ ein stetig differenzierbares Vektorfeld
mit beschr\"ankter Ableitung (damit die Lipschitz-Bedingung erf\"ullt ist).
Es sei $\phi:\R\times\R^n\to\R^n$ die Abbildung, die durch die
Bedingungen $\phi(0,\vec{y})=\vec{y}$ for all $\vec{y}\in\R^n$, 
$\frac{\partial\phi}{\partial t}(t,y)=F(\phi(t,y))$ definiert ist.
Sie beschreibt die L\"osung in Abh\"angigkeit von den Anfangswerten
und ist daher stetig. Sie erf\"ullt die Funktionalgleichung
\begin{equation} \label{eq:flow}
 \phi(t_1+t_2,\vec{y})=\phi(t_1,\phi(t_2(\vec{y})) , 
\end{equation}
insbesondere ist $\phi_t:R^n\to\R^n$, $\phi_t(\vec{y})=\phi(t,\vec{y})$ invertierbar
mit inverser Abbildung $\phi_{-t}$. Die Abbildung $\phi$ hei{\ss}t Flu{\ss}
des Vektorfeldes $F:\R^n\to\R^n$.

Wenn das Richtungsfeld $F$ nicht Lipschitz-stetig ist, dann mu{\ss} der Flu{\ss}
nicht \"uberall definiert sein. Wenn $F$ differenzierbar ist, dann ist die
Lipschitz-bedingung zumindest lokal auf jeder kompakten Teilmenge erf\"ullt,
und f\"ur jeden Punkt $\vec{y}\in\R^n$ ist der Flu{\ss} lokal in einer
einen offenen Umgebung von $(0,\vec{y})$ definiert.

\begin{thm}
Es sei $U\subset\R^n$ offen und $F:U\to\R^n$ ein stetig differenzierbares
Vektorfeld. Dann ist der Flu{\ss} $\phi$ in seinem ganzen Definitionsbereich differenzierbar.
\end{thm}

\begin{proof}
Es sei $\vec{y}\in U$ fix gew\"ahlt.
Es ist schon gezeigt, da{\ss} $\phi$ stetig
ist, au{\ss}erdem existiert die ``Zeitableitung'' 
$\frac{\partial \phi}{\partial t}(t,\vec{y})=F(t,\phi(t,\vec{y}))$. Es reicht zu
zeigen, da{\ss} die ``Raumableitung'' $\frac{\partial \phi}{\partial \vec{y}}$ existiert
und stetig ist (der Wert der Raumableitung ist eine lineare Abbildung von $\R^n$ nach
$\R^n$). Wir zeigen nur den Fall $n=1$. 

Es sei $z\in U$, $z\ne y(=\vec{y})$. Es ist zu zeigen, da{\ss} die parameterabh\"angige Funktion 
$g_z:t\mapsto\frac{\phi(t,z)-\phi(t,y)}{z-y}$
f\"ur $z\to y$ konvergiert (der Grenzwert ist dann die Raumableitung). Die Abbildung
$x\mapsto\phi(t,x)$ ist injektiv f\"ur alle $t$ im Definitionsbereich, daher ist
$\phi(t,z)-\phi(t,y)\ne 0$ gilt. Es gilt
\[ {\partial t}g_z(t) = \frac{\partial_t\phi(t,z)-\partial_t\phi(t,y)}{z-y} 
  = \frac{\partial_t\phi(t,z)-\partial_t\phi(t,y)}{\phi(t,z)-\phi(t,y)}\frac{\phi(t,z)-\phi(t,y)}{z-y} . \]
Mit der Definition $v_z(t)=\frac{F(\phi(t,z))-F(\phi(t,y))}{\phi(t,z)-\phi(t,y)}$
erf\"ullt $g_z$ die Differenzialgleichung $g_z'(t)=v_z(t)g_z(t)$
und die Anfangsbedingung $g_z(0)=1$.
Dieses Anfangswertproblem ist linear, und nach Satz~\ref{thm:pll} ist der Grenz\"ubergang
$z\to y$ erlaubt. Da $F$ differenzierbar ist, ist $\lim_{z\to y}v_z(t)$ definiert und 
gleich $w(t):=F'(\phi(t,y))$. Daher existiert auch die Raumableitung $h$ als L\"osung
des Anfangwertproblems $h'(t)=w(t)h(t), h(0)=1$.
\end{proof}

\begin{defn}
Es sei $k$ eine positive ganze Zahl.
Es seien $D_1,D_2\subset\R^k$ offene und zusammenh\"angende Mengen, $F_1:D_1\to\R^k$ und $F_2:D_2\to\R^k$
Vektorfelder, $p_1\in D_1$ und $p_2\in D_2$. Wir sagen {\em $F_1$ ist bei $p_1$ lokal topologisch \"aquivalent
zu $F_2$ bei $p_2$} wenn f\"ur Umgebungen $U_1\subset D_1, p_1\in U_1$ und ein Hom\"oomorphimus
$f:U_1\to U_2$ existiert, der jede L\"osungskurve in eine L\"osungskurve abbildet, und der auf den
L\"osungskurven die lineare Ordnung erh\"alt, die durch die Parametrisierung mit $t$ gegeben ist
(informell ausgedr\"uckt: der das Phasenbild inklusive Richtung der Pfeile erh\"alt).
\end{defn}

\begin{defn}
Es sei $k$ eine positive ganze Zahl, $D\subset\R^k$ eine offene und zusammenh\"angende Menge,
$F:D\to\R^k$ ein differenzierbares Vektorfeld, und $p\in D$ ein Punkt soda{\ss} $F(p)\ne 0$ ist.
Eine Hyperebene $H\subset\R^k$ durch $p$ hei{\ss}t transversal zu $F$ bei $p$, wenn der Vektor $F(p)$
nicht in dem Vektorraum $H-\{p\}$ (Hyperebene $H$ verschoben, soda{\ss} die durch den Nullpunkt geht)
enthalten ist.
\end{defn}

\begin{thm}
Es sei $k$ eine positive ganze Zahl, $D\subset\R^k$ eine offene und zusammenh\"angende Menge,
$F:D\to\R^k$ ein differenzierbares Vektorfeld, und $p\in D$ ein Punkt soda{\ss} $F(p)\ne 0$ ist.
Dann ist $F$ bei $p$ lokal \"aquivalent zum konstanten Vektorfeld $(x_1,\dots,x_n)\to(1,0,\dots,0)$
bei $(0,\dots,0)$.
\end{thm}

\begin{proof}
Es sei $H$ eine transversale Hyperebene. Dann ist die Flu{\ss}abbildung $\phi$ eingeschr\"ankt auf 
$\R\times H$ auf einer Umgebung von $(0,p)$ definiert und differenzierbar.
Die Jacobi-Matrix bei $(0,p)$ ist nicht singul\"ar, daher ist die Abbildung ein lokaler
Hom\"oomorphismus. Sie bildet die L\"osungskurven des konstanten Vektorfelds (Geraden) auf L\"ösungskurven
von $F$ ab.
\end{proof}

Es folgt, da{\ss} zwei Nicht-Gleichgewichtspunkte bei gleicher Dimension immer lokal \"aquivalent sind.

\begin{description}
\item[Literatur:] leider ist dieses Kapitel in keinem der beiden B\"ucher enthalten.
\end{description}

\section{Analyse von Gleichgewichtspunkten}

Es sei $f:U\to\R$ eine differenzierbare Funktion. Dann ist die Richtungsableitung
definiert als
\[ \delta_F(f) = F_1\frac{\partial f}{\partial x_1}+\dots+F_n\frac{\partial f}{\partial x_n} . \]
Wenn $x:\R\to U$ eine L\"osungskurve ist, dann ist $\delta_F(f)(\vec{x})$ die Ableitung
der Funktion $\R\to\R$, $t\mapsto f(x(t))$. 

\begin{thm} (Ljapunov)
Es sei $p\in U$ ein Equilibrium. Wenn eine differenzierbare Funktion $f:U\to\R$ existiert, 
die bei $p$ ein globales Maximum annimmt, und deren Richtungsableitung auf 
$U\setminus\{p\}$ positiv ist, dann ist $p$ asymptotisch stabil.
Eine solche Funktion hei{\ss}t auch {\em strenge Ljapunov-Funktion}.
\end{thm}

Bei Gleichgewichtspunkten ist die Richtungsableitung jeder Funktion gleich Null. Eine Funktion $f$
ist also dann strikt Ljapunov beim Gleichgewichtspunkt $p$, wenn $p$ gleichzeitig lokales Maximum von $f$
und lokales Minimum von $\delta_F(f)$ ist.

\begin{proof} 
Die L\"osungskurven k\"onnen die Teilgebiete $\{ x\mid f(x)<a\}$, wobei $a>f(p)$ ist,
nie verlassen. Au{\ss}erdem ist die Ableitung der Funktion $t\mapsto f(x(t))$ stets
negativ f\"ur $x(t)\ne p$, daher ist $\lim_{t\to\infty}x(t)=p$ f\"ur alle L\"osungskurven.
\end{proof}

\begin{thm}
Es sei $p\in U$ ein Equilibrium, soda{\ss} die Eigenwerte der Jacobi-Matrix bei $p$
$\frac{\partial F}{\partial(x_1,\dots,x_k)}|_p:\R^n\to\R^n$ 
alle positiven bzw. negativen Realteil haben.
Dann ist $p$ asymptotisch stabil.
\end{thm}

\begin{defn}
Ein Gleichgewichtspunkt, bei dem die Eigenwerte der Jacobi-Matrix Realteil ungleich Null
haben, hei{\ss}t hyperbolischer Gleichgewichtspunkt.
\end{defn}

\begin{thm}[Hartmann-Grobmann]
Es sei $p\in U$ ein hyperbolischer Gleichgewichtspunkt des Richtungsfelds bei $F:D\to\R^k$. 
Es sei $J\in\R^{k\times k}$ die Jacobi-Matrix von $F$ bei $p$. Dann ist $F$ bei $p$ lokal
\"aquivalent zum linearen Richtungsfeld $x\mapsto Jx$ bei $0$.
\end{thm}

\begin{defn}
Eine {\em Senke} ist ein asymptotisch stabiler Gleichgewichtspunkt. 
Eine {\em Quelle} ist ein instabiler Gleichgewichtspunkt, der bei der Multiplikation des Richtungsfelds
mit $-1$ asymptotisch stabil wird.
Ein {\em Sattelpunkt} ist ein hyperbolischer Gleichgewichtspunkt, der weder eine Quelle noch eine Senke ist.
\end{defn}

\begin{thm}
Es sei $n\in\N$, $D_1,D_2\subset\R^n$ zwei offene und zusammenh\"angende Gebiete, $F_1:D_1\to\R^n$ und
$F_2:D_2\to\R^n$ zwei differenzierbare Richtungsfelder, $p_1\in D_1$ und $p_2\in D_2$ hyperbolische
Gleichgewichtspunkte von $F_1$ bzw. $F_2$. Dann ist $F_1$ bei $p_1$ lokal \"aquivalent zu $F_2$ bei $p_2$,
wenn die Anzahl der Eigenwerte der Jacobimatrix von $J(F_1)|_{p_1}$ mit positivem Realteil gleich
der Anzahl der Eigenwerte der Jacobimatrix von $J(F_2)|_{p_2}$ mit positivem Realteil ist.

Es sei $m$ die Anzahl der Eigenwerte der Jacobimatrix von $J(F_1)|_{p_1}$ mit positivem Realteil.
Wenn $m=0$ ist, dann ist $p_1$ eine Senke; wenn $m=n$ ist, ist $p$ eine Quelle; in allen anderen F\"allen
ist $p$ ein Sattelpunkt.
\end{thm}

Im Fall $n=2$ sind alle Sattelpunkte lokal \"aquivalent. F\"ur jeden Sattelpunkt gibt es 4 ausgezeichnete
Orbits, zwei ``hineingehende'' und zwei ``hinausgehende'' Orbits.

\begin{description}
\item[Literatur:] \cite[III.8.3,III.9.1,III.9.3]{HaleKocak}
\end{description}


\section{Zyklen von Diskreten Dynamischen Systemen}

Es sei $U\subset\R^n$ ein offenes Gebiet, $F:U\to U$ stetig differenzierbar.
Ein diskretes dynamisches System ist beschrieben durch die Rekursion
\[ x_{n+1}=F(x_n), x_0\in U. \]
Mit dem Startwert $x_0$ ist die Folge $(x_n)_n$ eindeutig bestimmt. Ein $k$-Zykel ($k>0$)
liegt vor, wenn die Folge periodisch mit Periode $k$ ist. Die 1-Zyklen entsprechen genau
den Fixpunkten von $F$. Jeder $k$-Zykel beginnt mit einem Fixpunkt von $F^k$, und umgekehrt
ist jede Folge mit einem Fixpunkt von $F^k$ als Startwert ein $l$-Zykel mit $l|k$.

Ein Zykel hei{\ss}t {\em Attraktor} oder {\em stabiler Zykel}, 
wenn eine offene Umgebung von des Startwertes existiert,
soda{\ss} jede Folge, die in dieser Umgebung startet, gegen den Zykel konvergiert.

\begin{thm}
Es sei $(x_1,\dots,x_k)$ ein $k$-Zykel mit Startwert $x_1$. Wenn die Eigenwerte der Jacobi-matrix
von $F^k$ bei $x_1$ Betrag kleiner als 1 haben, dann ist
der Zykel ein Attraktor. 
%Wenn $|(F^k)'(x_1)|>1$, dann ist der Zykel kein Attraktor (sondern
%ein ``Repellor'', d.h. es existiert eine Umgebung $U$ von $x_1$, soda{\ss} jede Folge mit
%Startwert in $U\setminus\{x_1\}$ nicht gegen den Zykel konvergiert).
\end{thm}

F\"ur $n=1$ gibt es einen einfachen, aber wichtigen Spezialfall, n\"amlich den Fall da{\ss} $F$
monoton steigend ist. In diesem Fall ist jede Folge, die durch die Rekursion von $F$ definiert
ist, monoton steigend oder fallend. Falls sie konvergiert, dann ist der Grenzwert ein Fixpunkt.
Andere Zyklen existieren nicht.

Jede quadratische Rekursion $x_{n+1}=ax_n^2+bx_n+b$, die mindestens einen Fixpunkt hat,
l\"a{\ss}t sich durch eine lineare Koordinatentransformation auf eine ''logistische'' Rekursion
$x_{n+1}=F(x_n)=rx_n(1-x_n)$ mit $r\ge 1$ \"uberf\"uhren. Sobald die Folge ein Glied
au{\ss}erhalb des Intervalles $[0,1]$ hat, divergiert sie gegen $-\infty$. 

Wenn $r\le 4$, dann
bleibt jede Folge mit Startwert in $[0,1]$ in diesem Intervall. Die Struktur der Zyklen
h\"angt von $r$ ab und nimmt an Komplexit\"at zu, wenn $r$ gr\"o{\ss}er wird. 

F\"ur $r=4$
ist die Rekursion auf dem gesamten Intervall $[0,1]$ chaotisch, das hei{ss}t die Zykel liegen
dicht und f\"ur zwei beliebige offene Mengen existiert eine Folge mit Werten in beiden
offenen Mengen (topologische Vermischung).

F\"ur $r>4$ divergieren die meisten zuf\"allig gew\"ahlten Folgen mit Startwert in $[0,1]$ gegen
$-\infty$, es gibt aber eine Teilmenge, auf der das Verhalten chaotisch ist.

Der folgende Satz gilt f\"ur beliebige Rekursionen erster Ordung.
Siehe auch folgenen \htmladdnormallink{\"Ubersichtsartikel}{http://www.math.northwestern.edu/~burns/papers/boris1/}.

Die Sharkowski-Ordnung ist folgende lineare Ordung auf den nat\"urlichen Zahlen:
\[ 1 \triangleleft 2 \triangleleft 2^2 \triangleleft \dots 
   2^2 7 \triangleleft 2^2 5 \triangleleft 2^2 3 \triangleleft \dots
   2\cdot 7  \triangleleft 2 \cdot 5 \triangleleft 2\cdot 3 \triangleleft \dots
   7  \triangleleft 5 \triangleleft 3 \]

\begin{thm}[Sharkowski]
Wenn $m\triangleleft n$, dann hat jede Funktion, die einen $n$-Zykel hat, auch einen $m$-Zykel;
und es existiert eine Funktion, die einen $m$-Zykel, aber keinen $n$-Zykel hat.
\end{thm}

Zum Beispiel hat jede Funktion, die einen 3-Zykel hat, Zyklen beliebiger L\"ange, und jede
Funktion die \"uberhaupt einen Zykel hat, hat auch einen Fixpunkt.

\begin{description}
\item[Literatur:] \cite[I.3]{HaleKocak}
\end{description}

\section{Zyklen von Kontinuierlichen Systemen}

Es sei wieder $U\subset\R^n$ offen, $F:U\to\R^n, 
(x_1,\dots,x_n)\mapsto (F_1(x_1,\dots,x_n),\dots,F_n(x_1,\dots,x_n))$ 
ein stetig differenzierbares Vektorfeld. 
Eine L\"osungskurve $z:\R\to U$ mit $z(t+h)=z(t)$ f\"ur alle $t$ hei{\ss}t Zykel oder 
periodischer Orbit. Wenn f\"ur eine andere L\"osungskurve $x:\R_+\to U$ gilt,
da{\ss} f\"ur alle $t_0\in\R$ und $\epsilon>0$ und $N>0$ ein $t_1>N$ existiert, soda{\ss}
$||x(t_1)-z(t_0)||<\epsilon$ gilt, dann sagen wir da{\ss} die Kurve $x$ sich asymptotisch
an den Zykel $z$ ann\"ahert.

\begin{defn}
Es sei $U\subset\R^n$ offen, $F:U\to\R^n$ ein  stetig differenzierbares Vektorfeld.
Es sei $H$ eine Hyperebene die auf jedem ihrer Punkte transversal zu $F$ ist.
Die Poincar\'{e}-Abbildung $\Phi:(H\cap U)\dashrightarrow (H\cap U)$ ist definiert als 
die partielle Funktion, die jedem Punkt $p\in H\cap U$ den ersten Punkt zuordnet,
bei dem der Orbit durch $p$ die Menge $H\cap U$ wieder schneidet:
\[ t_0:=\min\{ t>0 \mid \phi(t,p)\in H\cap U\}, \Phi(p) := \phi(t_0,p) . \]
Falls so ein $t_0$ nicht existiert, ist $\Phi(p)$ nicht definiert.
\end{defn}

\begin{thm}
Die Poincar\'e-Abbildung ist in ihrem Definitionsbereich differenzierbar.
\end{thm}

\begin{proof}
Dies ist eine Folge der Differenzierbarkeit des Flu{\ss}es: die Poincar\'e-Abbildung l\"a{\ss}t sich
aus der Flu{\ss}-Abbildung, eines lokalen Hom\"oomorphismus' zu einem konstanten Vektorfeld, und
einer linearen Projektionsabbildung zusammensetzen.
\end{proof}

Fixpunkte von $\Phi$ entsprechen periodischen Orbits. Umgekehrt entsprechen periodische Orbits
Fixpunkten von $\Phi$, wenn man eine transversale Hyperebene gew\"ahlt hat. 

\begin{defn}
Ein periodischer Orbit hei{\ss}t stabil, wenn die Poincar\'e-Abbildung an der entsprechenden
Stelle einen stabilen Fixpunkt hat.

Ein periodischer Orbit hei{\ss}t hyperbolisch, wenn die Jacobi-Matrix der Poincar\'e-Abbildung an
der entsprechenden Stelle Eigenwerte von Betrag ungleich 1 hat.
\end{defn}

A priori h\"angt Stabilit\"at bzw. Hyperbolizit\"at von der Wahl der transversalen Hyperebene ab;
man kann jedoch zeigen, da{\ss} die Eigenschaft unabh\"angig ist von der Wahl der transversalen
Hyperebene.

F\"ur stabile Orbits gilt, da{\ss} jeder Orbit mit Startwert in einer geeigneten offenen Umgebung
sich diesem Orbit ann\"ahert. Hyperbolische Zykel mit EIgenwerten der Jacobi-Matrix der Poincar\'e-Abbildung 
mit Betrag kleiner 1 sind immer stabil.

\begin{thm}[Poincar\'{e}-Bendixsohn]
Es sei $n=2$.
Es sei $K\subset U$ eine kompakte Teilmenge von $U$, der keine Gleichgewichtspunkte
enth\"alt. Es sei $x:\R_+\to K\subset U$ eine L\"osungskurve, die $K$ nicht verl\"a{\ss}t.
Dann existiert ein Zykel, an den sich $x$ asymptotisch ann\"ahert.
\end{thm}

\begin{proof}
Man w\"ahle f\"ur jeden Punkt aus $K$ eine Gerade, die das Richtungsfeld transversal
schneidet, und eine offene Umgebung soda{\ss} jede darin enthaltene L\"osungskurve die
Gerade genau einmal schneidet. Wegen der Kompaktheit von $K$ kann man diese \"Uberdeckung
durch offene Mengen durch eine endliche Teil\"uberdeckung ersetzen. Es mu{\ss} nun
zumindest eine dieser offenen Teilmengen (sagen wir $V$) geben, die von $x$ f\"ur beliebig gro{\ss}e $t$
immer wieder geschnitten wird. Das darin enthaltene Geradenst\"uck $L$ wird dann ebenfalls
immer wieder von $x$ geschnitten. Das bedeutet, da{\ss} die Poincar\'e-Abbildung f\"ur
alle Schnittpunkte des Orbits mit $L\cap V$ definiert ist.

Es sei $x_0$ ein Schnittpunkt von $x$ und $L\cap V$.
Wir betrachten die Folge $(x_i)_i$ definiert durch $x_{i+1}=\Phi(x_i)$.
Wegen dem Jordan'schen Kurvensatz ist die Folge monoton steigend oder fallend. Da die
Folge beschr\"ankt ist, existiert der Grenzwert $\bar{x}$. Wegen der Stetigkeit des
Flu{\ss}es ist die L\"osungskurve $z$ mit Anfangspunkt $\bar{x}$ periodisch, und $x$
n\"ahert sich asymptotisch an $z$ an.
\end{proof}

Falls endlich viele Gleichgewichtspunkte existieren, dann sind nur noch folgende weitere F\"alle m\"oglich:
\begin{itemize}
\item Der Orbit konvergiert gegen einen Gleichgewichtspunkt.
\item Der Orbit n\"ahert sich einer Menge an, die aus Gleichgewichtspunkten und ``heteroklinen''
	oder ``homoklinen'' Orbits besteht (Definition unten).
\end{itemize}

\begin{defn}
Ein Orbit $x$ hei{\ss}t homoklin, wenn er auf ganz $\R$ definiert ist, und wenn die Grenzwerte
$\lim{t\to -\infty}x(t)$ und $\lim{t\to\infty}x(t)$ existieren und gleich sind.
Ein Orbit $x$ hei{\ss}t heteroklin, wenn er auf ganz $\R$ definiert ist, und wenn die Grenzwerte
$\lim{t\to -\infty}x(t)$ und $\lim{t\to\infty}x(t)$ existieren und ungleich sind.
\end{defn}

Die positiven und negativen Grenzwerte bei heteroklinen bzw. homoklinen Orbits sind nat\"urlich
Gleichgewichtspunkte (folgt aus der Stetigkeit des Vektorfelds).

F\"ur Richtungsfelder im $\R^3$ gibt es keinen Satz analog zu Poincar\'{e}-Bendixsohn. Es gibt Beispiele von
Fraktalen mit der Eigenschaft, da{\ss} sich jede L\"osungskurve an diese asymptotisch
ann\"ahert (``seltsame Attraktoren'' wie etwa den Lorenz-Attraktor oder 
den R\"ossler-Attraktor). Das dynamische Verhalten auf diesen beiden Attraktoren
ist ``chaotisch'', das hei{\ss}t die periodischen Orbits liegen dicht im Attraktor,
und f\"ur zwei offene Mengen $U$ und $V$ gibt es einen Orbit der beide schneidet
(topologische Vermischung).

\begin{description}
\item[Literatur:] \cite[III.9,III.11,III.12]{HaleKocak}
\end{description}

\section{Bifurkationstheorie}

Wenn $F:\R^n\to \R^n$ ein stetiges Richtungsfeld ist, und $o\in \R^n$ kein Gleichgewichtspunkt
ist, dann ist der Flu{\ss} von $F$ lokal equivalent zum Flu{\ss} eines konstanten
Vektorfelds. Wenn nun das Richtungsfeld von einem oder mehreren reellen Parametern
abh\"angt und diese Parameter St\"orungen unterliegen, dann \"andert sich das lokale
Verhalten qualitativ nicht, solange die St\"orung klein genug ist (solange nur das Richtungsfeld
bei $o$ nicht verschwindet). 

Auch wenn $o$ ein hyperbolischer Gleichgewichtspunkten ist, ist das lokale Verhalten
unabh\"angig von kleinen St\"orungen. Das besagt der folgende Satz.

\begin{thm}
Es sei $o\in\R^n$, $U\subset\R^n$ eine offene Umgebung von $U$, $I\subset\R$ ein Intervall,
welches $0$ als inneren Punkt enth\"alt, $F:U\times I\to\R^n$ ein Richtungsfeld, soda{\ss}
$o$ ein hyperbolischer Gleichgewichtspunkt des Richtungsfeldes bei $0$ ist. Dann gibt es
ein Teilintervall $J\subset I$, soda{\ss} f\"ur alle $\lambda\in J$ das Richtungsfeld bei
$\lambda$ wieder einen hyperbolischen Gleichgewichtspunkt besitzt. Dabei ist das qualitative
Verhalten gleich dem des Gleichgewichtsounktes $o$ im Richtungsfeldes bei $0$.
\end{thm}

\begin{proof}
F\"ur $\lambda\in I$ bezeichnen wir mit $F_\lambda:U\to\R^n$, $x\to F(x,\lambda)$ das
Richtungsfeld bei $\lambda$. Die Funktion $F_0$ bildet den Punkt $o$ auf den Nullpunkt ab
und hat Jacobi-determinante ungleich 0 (da alle Eigenwerte Reilteil ungleich Null haben). 
Nach dem Satz \"uber implizite Funktionen ist $F_0$ ein lokaler Isomorphismus von einer
eventuell kleineren Umgebung $U'\subset U$ auf eine Umgebung $V$ des Nullpunkts. Das
Nicht-Verschwinden der Jacobi-determinante ist auch noch erf\"ullt f\"ur $F_\lambda$, falls
$\lambda$ nahe genug bei Null ist. Nach eventueller weiterer Verkleinerung der Umgebungen
$U'$ und $V$ ist $F_\lambda$ ein Isomorphismus von $U''$ und $V'$, und das inverse Bild
des Nullpunkts ist der einzige Gleichgewichtspunkt von $F_\lambda$ in $U''$. Die Stetigkeit
der Eigenwerte liefert den Rest der Behauptung.
\end{proof}

Im Gegensatz dazu k\"onnen nichthyperbolische Gleichgewichtspunkte durch kleine St\"orungen
den Typ \"andern, verschwinden, oder in mehrere Gleichgewichtspunkte ``aufspalten''. In der
Bifurkationstheorie werden die M\"oglichkeiten untersucht, wie nichthyperbolische Gleichgewichtspunkte
durch kleine St\"orungen beeinflu{\ss}t werden.

\begin{description}
\item[Sattelknoten-Bifurkation:] $F_\lambda(x_1,\dots,x_n)=(\lambda+x_1^2,x_2,\dots,x_n)$.
	F\"ur $\lambda<0$ befinden sich in der N\"ahe von $(0,\dots,0)$ eine Quelle und ein
	Sattelpunkt (bzw. Senke falls $n=1$), f\"ur $\lambda>0$ gibt es keine Equilibrien.
\item[transkritische Bifurkation:] $n=1$, $F(x,\lambda)=\lambda x+x^2$. Hier gibt es f\"ur
	$\lambda\ne 0$ zwei Equilibrien, eine Quelle und eine Senke, die beim Durchgang durch
	Null ``den Typ vertauschen''.
\end{description}

Graphische Darstellung von Bifurkationsdiagrammen im Fall $n=1$: In der $(x,\lambda)$-Ebene
werden f\"ur jedes $\lambda$ die hyperbolischen Gleichgewichtspunkte durch Kurven gezeichnet,
wobei Senken als durchgehende Kurven und Quellen strichliert dargestellt werden.

\begin{defn}
Es sei $U\subset\R^n$ offen. Es sei $D\subset U$ eine kompakte Teilmenge von $U$ mit glattem Rand.
Ein stetig differenzierbares Vektorfeld $F:U\to\R^n$ hei{\ss}t {\em strukturell stabil} auf $D$, wenn 
es zu jedem ein-parametrigem differenzierbarem Vektorfeld $\R\times D\to\R^n$,
$(\lambda,x)\mapsto F_\lambda(x)$ ein $\epsilon>0$ gibt, soda{\ss} $F$ auf $D$ topologisch \"aquivalent
ist zu $F_\lambda$ f\"ur alle $\lambda\in(-\epsilon,\epsilon)$. Das hei{\ss}t, es existiert ein
Hom\"oomorphimus von $D$ nach $D$, der Orbits von $F$ in Orbits von $F_\lambda$ abbildet und
die Pfeilrichtungen erh\"alt.
\end{defn}

\begin{thm}
Im Fall $n=2$ ist ein differenzierbares Vektorfeld genau dann stabil, wenn alle seine Gleichgewichtspunkte
und Zyklern hyperbolisch sind, und wenn keine homoklinen oder heteroklinen Orbits existieren.
\end{thm}

\begin{description}
\item[Literatur:] \cite[I.2,III.13.1]{HaleKocak}
\end{description}

%\section{Ein Eigenwertproblem}
%
%Es seien $[a,b]\subset\R$ ein Intervall. Es seien $f,g,h:[a,b]\to\R$ stetige Funktionen,
%wobei $a$ stetig differenzierbar sein soll, $f$ keine Nullstelle am Rand und $h$ \"uberhaupt
%keine Nullstelle hat.
%Beim Eigenwertproblem sind $\lambda\in\R$ und $y\in C^2([a,b])$ gesucht,
%soda{\ss} f\"ur alle $t\in[a,b]$
%\[ f(t)y''(t)+f'(t)y'(t)+g(t)y(t)=\lambda h(t)y(t) \]
%gilt und $y(a)=y(b)=0$ ist. 
%
%F\"ur festes $\lambda\in\R$ existiert im allgemeinen nur die triviale L\"osung $y(t)=0$,
%weil der L\"osungsraum der Differentialgleichung ein zwei-dimensionaler Vektorraum ist und
%f\"ur die Randbedingungen zwei zus\"atzliche lineare Bedingungen sind. F\"ur spezielle $\lambda$
%sind diese zwei Bedingungen linear abh\"angig, und es existiert eine nichttriviale L\"osung $y_\lambda$.
%Dann hei{\ss}t $\lambda$ Eigenwert und $y_\lambda$ die zu $\lambda$ geh\"orende Eigenl\"osung.
%
%Wir definieren auf dem Vektorraum $C^0([a,b])$ das Skalarprodukt
%\[ \langle u,v\rangle := \int_a^b h(t)u(t)v(t) dt . \]
%
%\begin{thm}
%Die Eigenl\"osungen zu zwei verschiedenen L\"osungen sind aufeinander normal im Sinn des oben
%definierten Skalarprodukts.
%\end{thm}
%
%\begin{proof}
%Es seien $\lambda_1\ne\lambda_2$ Eigenwerte und $y_1,y_2$ die dazugeh\"origen Eigenfunktionen.
%Dann ist
%\[ (\lambda_1-\lambda_2)\langle y_1,y_2\rangle = 
%\int_a^b ((f(t)y_1''(t)+f'(t)y_1'(t)+g(t)y_1(t))y_2(t)-(f(t)y_2''(t)+f'(t)y_2'(t)+g(t)y_2(t))y_1(t)) dt \]
%\[ = \int_a^b (f(t)y_1'(t)y_2(t)-f(t)y_2'(t)y_1(t))' dt = 
%(f(b)y_1'(b)y_2(b)-f(b)y_2'(b)y_1(b))- (f(a)y_1'(a)y_2(a)-f(a)y_2'(a)y_1(a)) = 0  \]
%\end{proof}

%\section{Die W\"armeleitungsgleichung}
%
%Wenn $u:[0,1]\times [0,\infty)$ die Temperatur an der Stelle $x$ zum Zeitpunkt $t$ eines Stabes
%der L\"ange~1 beschreibt, so erf\"ullt $u$ die partielle Differentialgleichung
%\[ \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} = \frac{\partial u(x,t)}{\partial t} . \]
%Wir nehmen an, da{\ss} die Temperatur aan den beiden Randpunkten konstant ist -- $u(0,t)=u(1,t)=0$ -- und
%da{\ss} die Anfangsverteilung $u(x,0)=v(x)$ gegeben ist.
%
%Die Linearit\"at der Gleichung gibt Anla{\ss} zur Hoffnung, da{\ss} sich die gesuchte L\"osung
%aus Basisl\"osungen zusammenl\"a{\ss}t. F\"ur die Basisl\"osung setzen wir $u(x,t)=f(x)g(t)$ an
%und erhalten die gew\"ohnlichen Differentialgleichungen
%\[ f''(x)+\lambda f(x)=0, g'(t)+\lambda g(t)=0 , \]
%wobei $\lambda\in\R$ konstant ist. Wegen der Randbedingung gilt $f(0)=f(1)=0$, das hei{\ss}t
%die Differentialgleichung und Randbedingung f\"ur $f$ stellen ein Eigenwertproblem dar.
%
%Die Eigenwerte sind $\lambda_n=n^2\pi^2$ f\"ur $n=1,2,3,\dots$, mit Eigenl\"osung
%$z_n(x)=\sin(n\pi x)$. Wenn sich die Anfenagsverteilung in eine Sinusreihe entwickeln l\"a{\ss}t,
%\[ v(x) = \sum_{n=1}^\infty a_n z_n(x) , \]
%dann ist die gesuchte L\"osung 
%\[ u(x,t) = \sum_{n=1}^\infty a_n z_n(x)e^{-n^2\pi^2t} . \]
%Da die Eigenl\"osungen orthogonal zueinander sind, lassen sich die Koeffizienten durch
%\[ a_n = \frac{\langle v,z_n\rangle}{\langle z_n,z_n\rangle} 
%	= 2\int_0^1 v(x)z_n(x) dx \]
%bestimmen.
%
%\section{Die Wellengleichung}
%
%Die eindimensionale Wellengleichung 
%\[ \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} \]
%mit Randbedingungen $u(0)=u(1)=0$ beschreibt die Schwingung einer eingespannten Saite.
%Sie l\"a{\ss}t sich \"ahnlich wie die W\"armeleitungsgleichung behandeln: wenn die Anfangsauslenkung 
%$u(x,0)=v(x)$ sich in eine Sinusreihe 
%\[ v(x) = \sum_{n=1}^\infty a_n \sin(n\pi x)(x) \]
%entwickeln l\"a{\ss}t, und die Anfangsgeschwindigkeit $u_x(x,0)$ gleich 0 ist f\"ur alle $x$,
%dann ist die gesuchte L\"osung 
%\[ u(x,t) = \sum_{n=1}^\infty a_n \sin(n\pi x)\cos(n\pi t) . \]
%Die Schwingung l\"a{\ss}t sich also darstellen als \"Uberlagerung von Schwingungen 
%der Frequenzen $\frac{1}{\pi},\frac{2}{\pi},\frac{3}{\pi},\dots$.
%
%Wenn $u(x,y,t)$ eine zweidimensionale Welle beschreibt, so erf\"ullt sie die partielle Differentialgleichung
%\[ u_{xx}+u_{yy}=u_{tt} . \]
%F\"ur kreisf\"ormige Wellen ist $u(x,y,t)=v(r,t)$, $r=\sqrt{x^2+y^2}$, und $v$ erf\"ullt die Gleichung
%\[ v_{rr}+\frac{1}{r}v_r = v_{tt}. \]
%Um Basisl\"osungen zu finden, setzen wir $v=f(r)g(t)$, und erh\"alt die Gleichungen
%\[ f''(r)+\frac{1}{r}f'(r)+\lambda f(r)=0, \ g''(t)+\lambda g(t)=0 , \]
%wobei $\lambda\in\R$ eine Konstante ist. 
%F\"ur $\lambda>0$ ist $g$ periodisch. 
%
%Wenn man $v(1,t)=0$ f\"ur alle $t$ annimmt, dann erh\"alt f\"ur $f$ wieder ein Eigenwertproblem.
%Die zwei Bedingungen an den Randpunkten sind $f(1)=0$ und $\lim_{x\to 0}f(x)<\infty$ -- die 
%Differentialgleichungen hat bei $0$ einen Pol und besitzt auch L\"osungen, die bei $x=0$ eine
%senkrechte Asymptote haben. F\"ur $\lambda=1$ existiert eine nichttriviale L\"osung, die man
%durch Potenzreihenansatz entwickeln kann (mit $y_1(0)=1$):
%\[ y_1(x)=1-\frac{x^2}{4}+\frac{x^4}{4\cdot 16}-\frac{x^6}{4\cdot 16\cdot 36}+\dots 
%	= \sum_{n=0^\infty} (-1)^n\frac{x^{2n}}{4^n n!^2} \]
%(Diese Funktion hei{\ss}t auch Besselfunktion erster Art der Ordnung $0$.) F\"ur allgemeines
%$\lambda>0$ ist $y_\lambda(x)=y_1(\sqrt{\lambda}x)$ eine L\"osung der Differentialgleichung,
%und die Eigenwerte sind die Quadrate der Nullstellen von $y_1$.
%
%\section{Die Wellengleichung, zweite Methode}
%
%Die eindimensionale und die dreidimensionale Wellengleichung lassen sich auch mit einer anderen
%Methode behandeln, die eigentlich nichts mit dem Thema gew\"ohnliche Differentialgleichungen zu tun
%hat, aber trotzdem erw\"ahnt werden soll.
%
%Die eindimensionale Wellengleichung kann durch die Variablentransformation $p=x-t,q=x+t$, also
%$u(x,t)=w\left(\frac{p+q}{2},\frac{p+q}{2}\right)$, auf die partielle Differentialgleichung
%$w_{pq}=0$ transformiert werden. Die allgemeine L\"osung ist $w(p,q)=f(p)+g(q)$, also
%\[ u(x,t)=f(x-t)+g(x+t) . \]
%Durch die Randbedingung $u(0,t)=u(1,t)=1$ erh\"alt zus\"atzliche Bedingungen an $f,g$, insbesondere
%Periodizit\"at. Die Zerlegung in Eigenschwingungen kann man mit dieser Methode nicht sehen, daf\"ur
%la{\ss}en sich lokale Wellen besser beschreiben, solche, wo die Anfangsfunktion $u(x,0)$ nur auf einem
%kleinen Teilintervall ungleich Null ist: diese treiben mit Geschwindigkeit $1$ nach links oder nach rechts.
%
%F\"ur dreidimensionale Kugelwellen, die mit der Gleichung
%\[ v_{rr}+\frac{2}{r}v_r = v_{tt} \]
%beschrieben werden, funktioniert die Methode auch, weil die obige Gleichung durch $v_r=\frac{w_r}{r}$
%auf die eindimensionale Wellengleichung $w_{rr}=w_{tt}$ zur\"uckgef\"uhrt werden kann.
%Die allgemeine L\"osung ist
%\[ v(r,t)=\frac{f(r-t)+g(r+t)}{r} . \]
%
\section{Variationsrechnung}

Es sei $[a,b]\to\R$ ein beschr\"anktes Intervall, $L:\R^2\to\R$ stetig differenzierbar, $c,d\in\R$. 
Unter den Funktionen $f:[a,b]\to\R$, die die Randbedingung $f(a)=c,f(b)=d$ erf\"ullem sucht man eine,
die das Integral $I(f)=\int_a^b L(f(x),f'(x))dx$ minimieren. F\"ur L\"osungen dieses 
{\em Variationsproblems} gibt der folgende Satz eine notwendige Bedingungung an.

\begin{thm}
Es sei $y:[a,b]\to\R$ eine L\"osung des obigen Variationsproblems. Es seien $L_y$ und $L_z$ die
beiden partiellen Ableitungen der Funktion $L$. Dann erf\"ullt $y$ die Euler-Lagrange-Gleichung
\[ L_y(y(x),y'(x)) = \frac{dL_z(y(x),y'(x))}{dx} . \]
\end{thm}

\begin{proof}
Es sei $h:[a,b]\to\R$ differenzierbar mit $h(a)=h(b)=0$. Dann hat die Funktion $\epsilon\to I(y+\epsilon h)$
bei $\epsilon=0$ ein Minimum und erf\"ullt daher $I'(0)=0$. Daher gilt
\[ I'(0)=\int_a^b [ L_y(y(x),y'(x))h(x)+L_z(y(x),y'(x))h'(x)] dx \]
\[ = \int_a^b \left [L_y(y(x),y'(x)) - \frac{dL_z(y(x),y'(x))}{dx}\right] h(x)dx , \]
wobei man verwendet da{\ss} der erste Summand in der partiellen Integration wegen $h(a)=h(b)=0$ verschwindet.
Weil das Integral f\"ur jede solche Funktion $h$ gleich Null ist, mu{\ss} der Faktor in der eckigen Klammer
identisch verschwinden, das hei{\ss}t die Euler-Lagrange-Gleichung ist erf\"ullt.
\end{proof}

Ein einfaches Beispiel ist das Problem der k\"urzesten Verbindung. Hier w\"ahlt man
$L(y,z)=\sqrt{1+z^2}$. Die Euler-Lagrange-Gleichung ist $y''=0$. Die L\"osung ist nat\"urlich die
Gerade.

Ein weiteres Beispiel ist das Problem der schnellsten Verbindung (Brachystochrone) unter dem Einflu{\ss}
der Schwerkraft: am Punkt $(x,y)$ ist die Geschwindigkeit $\sqrt{2gy}$, wobei $g$ die Erdbeschleunigung ist.
Man setzt $L(y,z)=\sqrt\frac{1+z^2}{2gy}$. Die Euler-Lagrange-Gleichung ist $1+y'^2+2yy''=0$.
Die L\"osungskurve ist eine Zykloide, mit der Parameterdarstellung
\[ x = r\cos(t)+rt+d, y = r\sin(t)+r . \] 

Variationsprobleme mit einer Nebenbedingung der Art $J(f)=\int_a^b N(f(x),f'(x)) dx=C$, wobei $N:\R^2\to\R^2$
stetig differenzierbar ist und $C\in\R$ ist, k\"onnen mit der Methode des Lagrange-Multiplikators behandelt
werden. Sie f\"uhrt auf die Gleichung
\[ L_y(y(x),y'(x))+\lambda N_y(y(x),y'(x)) = \frac{dL_z(y(x),y'(x))}{dx}+\lambda\frac{dN_z(y(x),y'(x))}{dx} , \]
wobei $\lambda\in\R$ so gew\"ahlt wird, da{\ss} die Nebenbedingung erf\"ullt ist.

\bibliographystyle{plain}
\bibliography{de}

\end{document}

