1 Grundbegriffe

Definition 1. Ein dynamisches System ist eine Beschreibung von Funktionen in einer reellen (kontinuierliches System) oder natürlichen (diskretes System) Variablen durch Differentialgleichungen (im kontinuierlichen Fall) oder Rekursionsgleichungen (im diekreten Fall). Charakteristisch f¨ r die Beschreibung ist, daß das Verhalten der Funktionen, die durch diese Gleichung beschrieben ist, eindeutig von ihrem Wert an einer Anfangsstelle bestimmt ist (deterministisches System).

Definition 2. Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung zweier Funktionsterme, die aus folgenden Bausteinen gebildet werden:

• arithmetische Operationen (+, ·, /);

• die Ableitung D (bei partiellen Differentialgleichungen: partielle Ableitungen);

• bestimmte und unbestimmte Funktionssymbole;

• einsetzen in bestimmte Funktionen.

Die Funktionssymbole stehen für differenzierbare Funktionen in einer oder mehreren reellen oder komplexen Variablen. Bei gewöhnlichen Differentialgleichungen sind die unbestimmten Funktionen Funktionen einer Variablen.

Definition 3. Die Ordnung einer gewöhnlichen Differentialgleichung ist die höchste Ordung der Ableitung der unbestimmten Funktion, die in der Gleichung vorkommt.

Definition 4. Eine Differentialgleichung heißt linear, wenn sie sich schreiben läßt als T (y) = 0, wobei y die gesuchte Funktion und T ein linearer Differentialoperator ist.

Ein linearer Differentialoperator ist rekursiv definiert als

• der identische Operator y ↦ y,

• der Ableitungsoperator D : y ↦ y′,

• die Summe zweier Differentialoperatoren,

• die Hintereinanderausführung zweier Differentialoperatoren,

• oder das Produkt eines Differentialoperators mit einer bestimmten Funktion.

Satz 1. Die Lösungen einer linearen Differentialgleichungen bilden einen Vektorraum, m.a.W. die Lösungsmenge ist abgeschlossen bezüglich Addition und Multiplikation mit Konstanten.

Eine Differentialgleichung heißt autonom oder zeitunabhängig, wenn jede innerste Funktion entweder die gesuchte Funktion oder eine ihrer Ableitungen ist, so wie in

y^{(}k)(t) = F (y(t), y′(t), …, y^{(k−1)}(t).

Die allgemeine Form der vektorwertigen autonomen Differentialgleichung erster Ordnung für eine Funktion y⃗ : ℝ → U, wobei U ⊂ ℝ^{k} und k > 0, ist

∀t ∈ ℝ : y′(t) = F (y⃗(t)),

wobei F : U → ℝ^{k} eine stetige Funktion ist. Diese Funktion wird auch als Vektorfeld oder Richtungsfeld bezeichnet.

Definition 5. Die obigen Begriffe (Ordnung, Linearität) sind in abgewandelter Form auch für Rekursionsgleichungen gültig. Bei Rekursionsgleichung wird der Funktionswert an einer Stelle n gleichgesetzt mit einem Ausdruck in Funktionswerten an Stellen kleiner als n. Wenn die kleinste dieser Stellen n − k ist, dann heißt k die Ordnung der Rekursionsgleichung.

2 Rückführung auf Systeme erster Ordnung

Es sei D ⊂ ℝ ein offenes Intervall (m¨ glicherweise unbeschränkt). Eine Differentialgleichung für x : D → ℝ von Ordnung k > 1 der Form

∀t ∈ D : x^{(k)}(t) = F (t, x(t), x′(t), …, x^{(k−1)}(t)),

wobei F : D × ℝ^{k} → ℝ eine gegebene Funktion ist, läßt sich durch Einführung der Funktionen

y_{1} = x, y_{2} = x′, …, y_{k} = x^{(k−1)}

auf das System von Differentialgleichungen

∀t ∈ D : y′_{1}(t) = y_{2}(t), …, y′_{k−1}(t) = y_{k}(t),
y′_{k}(t) = F (t, y_{1}(t), …, y_{k}(t))

zurückführen. Dieses System kann auch aufgefaßt werden als eine Differentialgleichung für eine vektorwertige Funktion y⃗ : D → R^{k}.

Die obige Rückführung erhält die Linearität einer Differentialgleichung. Durch die Einführung einer neuen Variable y_{k+1} : D → ℝ und einer neuen

Gleichung

∀t ∈ D : y′_{k+1}(t) = 1

kann sogar auf den “zeitunabhängigen” oder “autonomen” Fall zurückgeführt werden, bei dem dir rechte Seite nicht von t abhängt. Diese Rückführung erhält aber die Linearität nicht mehr.

Analoge Rückführungen sind für den diskreten Fall möglich. Hier kann auf Rekursionsgleichungen erster Ordnung zurückgeführt werden.

3 Trennung der Variablen

Satz 2. Es seien (a, b) und (c, d) reelle Intervalle. Es seien f : (a, b) → ℝ und g : (c, d) → ℝ stetige Funktionen, g(y) ≠ 0 für alle y ∈ (c, d). Es sei F : (a, b) → ℝ und G : (c, d) → ℝ Stammfunktionen von f und \frac{1}{g}. Dann sind die Lösungen der Differentialgleichung

y′(x) = f(x)g(y(x))

die Funktionen der Form y(x) = G^{−1}(F (x) + C), wobei C ∈ ℝ eine Konstante ist, die so gewählt ist, daß F (x) + C im Wertebereich von G liegt.

Abgekürzte Schreibweise:

\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)

\frac{dy}{g(y)} = f(x)dx

∫ \frac{dy}{g(y)} = ∫ f(x)dx + C

G(y) = F (x) + C

y = G^{−1}(F (x) + C)

Diese Schreibweise soll nur die rechnerische Durchführung der Methode der Trennung der Variablen erleichtern, als mathematische Herleitung der Lösung ist sie nicht geeignet, da mehrere Zwischenschritte offensichtlich formal fehlerhaft sind (angefangen damit, daß y gleichzeitig als numerische Variable und als Funktionsvariable auftritt).

Satz 3. Die “Euler-homogene Differentialgleichung”

y′(x) = f (\frac{y}{x})

läßt sich durch die Transformation y(x) = xz(x), z(x) = \frac{y(x)}{x} auf eine Gleichung zurückführen, bei der die Variablen getrennt werden können.

Literatur: [?, II.8,II.9]

4 Integration in geschlossenen Ausdrücken

Definition 6. Ein Differentialkörper ist eine Menge von komplex-analytischen Funktionen, definiert auf einer offenen Teilmenge von ℂ, die abgeschlossen ist bezüglich arithmetischen Operationen und Ableitung, und die die Menge der rationalen Funktionen enthält.

Definition 7. Es sei K ein Differentialkörper, f_{1}, …, f_{n} ∈ K ungleich 0. Dann heißt der Körper, der von K und e^{f_{1}}, …, e^{f_{n}} erzeugt wird, eine exponentielle Erweiterung von K.

Definition 8. Es sei K ein Differentialkörper, f_{1}, …, f_{n} ∈ K ungleich 0. Dann heißt der Körper, der von K und log(f_{1}), …, log(f_{n}) erzeugt wird, eine logarithmische Erweiterung von K.

Definition 9. Eine reelle oder komplexe Funktion heißt elementar, wenn sie in einer iterierten [exponentiellen oder logarithmischen] Erweiterung des Differentialkörpers der rationalen Funktionen enthalten ist.

Satz 4 (Liouville). Es sei K ein Differentialkörper, f ∈ K. Wenn f eine Stammfunktion in einer iterierten [exponentiellen oder logarithmischen] Erweiterung besitzt, dann hat f bereits eine Stammfunktion in einer logarithmischen Erweiterung.

Der Risch-sche Algorithmus entscheidet, ob eine gegebene elementare Funktion eine elementare Stammmfunktion hat, und rechnet eine solche aus im Fall daß eine existiert. Eine wesentliche Grundlage des Risch-schen Algorithmus ist die Partialbruchzerlegung von rationalen Funktionen.

Literatur: [?]

5 Gleichgewichtspunkte und Stabilität (Definition)

Definition 10. Es sei k eine positive ganze Zahl, U eine offene zusammenhängende Teilmenge des ℝ^{k}, F : U → ℝ^{k} ein Vektorfeld. Eine Punkt x ∈ U heißt Gleichgewichtspunkt oder Equilibrium von F wenn F (x) = 0 ist.

Für jeden Gleichgewichtspunkt x hat die Differentialgleichung y′(t) = F (y⃗(t)) eine konstante Lösung t ↦ x.

Definition 11. Ein Gleichgewichtspunkt x ∈ U heißt stabil, wenn für jedes ϵ > 0 ein δ > 0 existiert, sodaß jede Lösung y⃗ mit Startwert ||y⃗(0) − x|| < δ für t > 0 definiert ist und dort ||y⃗(t) − x|| < ϵ erfüllt.

Ein stabiler Gleichgewichtspunkt heißt asymptotisch stabil, wenn zusätzlich gilt: es existiert ϵ > 0, sodaß jede für Lösung y⃗ mit Startwert ||y⃗(0) − x|| < ϵ gilt:

lim_{t→∞} y⃗(t) = x.

Für diskrete dynamische Systeme der Form

∀n ∈ ℕ : y_{n+1} = F (y_{n}),

wobei F : U → U eine stetige Funktion ist, wird Stabilität bzw. asymptotische Stabilität genauso definiert wird (hier steht dann t ausnahmsweise für eine natürliche Zahl).

Literatur: [?, I.1.3], [?, X.65]

6 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

Die allgemeine Gestalt der skalaren linearen Differentialgleichung von Ordnung k ist

y^{(k)} + a_{1}y^{(k−1)} + ⋯ + a_{k−1}y′ + a_{k}y = 0,  (1)

wobei a_{1}, …, a_{k} reelle oder komplexe Konstanten sind, und y : ℝ → ℝ bzw. ℝ → ℂ die unbestimmte Funktion ist. (Die obige Gleichung ist als Gleichheit von Funktionen zu verstehen, auf der rechten Seite steht die Nullfunktion t ↦ 0.) Wir behandeln in erster Linie den reellen Fall.

Wir bezeichnen die Menge aller beliebig oft differenzierbaren Definitionen von ℝ nach ℝ mit C^{∞}(ℝ). Die linke Seite von (3) läßt sich schreiben als F (y) = 0, wobei F : C^{∞}(ℝ) → C^{∞}(ℝ) der Operator

f ↦ f^{(k)} + a_{1}f^{(k−1)} + ⋯ + a_{k−1}f′ + a_{k}f

ist. Das charakteristische Polynom von (3) ist P (T) = P_{F} (T) = T^{n} + a_{1}T^{n−1} + ⋯ + a_{n−1}T + a_{n}.

Satz 5. Es seien F_{1}, F_{2} lineare Differentialoperatoren mit konstanten Koeffizienten. Dann ist F_{1} ∘ F_{2} wieder linearer Differentialoperator mit konstanten Koeffizienten. Es gilt

P_{F_{1}∘F_{2}} = P_{F_{1}}P_{F_{2}} = P_{F_{2}∘F_{1}}.

Satz 6. Es sei F (y) = 0 eine lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Es sei

P (T) = (T − λ_{1})^{e_{1}} … (T − λ_{m})^{e_{m}}, e_{1} + ⋯ + e_{m} = n

die Zerlegung vom charakteristischen Polynom in komplexe Linearfaktoren. Dann sind die Lösungen von F (y) = 0 genau die Linearkombinationen der Lösungen

e^{λ_{1}x}, …, e^{λ_{1}x}x^{e_{1}−1}, …, e^{λ_{m}x}, …, e^{λ_{m}x}x^{e_{m}−1}.

Insbesondere bilden die Lösungen einen Vektorraum der Dimension n.

Im reellen Fall erhält man durch den obigen Satz nur eine Basis von komplexwertigen Lösungen. Diese lassen sich aber mit Hilfe der Eulerschen Formeln durch reelle Basislösungen ersetzen. Zum Beispiel erzeugen die Funktionen y_{1}, y_{2} : ℝ → ℂ,

y_{1}(t) = e^{(a+bi)t}, y_{2}(t) = e^{(a−bi)t}

über ℂ den selben Vektorraum wie die Funktionen x_{1}, x_{2} : ℝ → ℝ

x_{1}(t) = e^{at} cos(bt), x_{2}(t) = e^{at} sin(bt).

Die Funktionen x_{1}, x_{2} sind jedoch reellwertig und erzeugen über ℝ alle reellwertigen Lösungen.

Beim Anfangswertproblem sind zusätzlich zur Gleichung 3 die Anfangsbedingungen

y(a) = b_{0}, y′(a) = b_{1}, …, y^{(n−1)}(a) = b_{n−1}  (2)

vorgegeben, wobei a, b_{0}, …, b_{n−1} gegebene reelle oder komplexe Zahlen sind.

Satz 7. Das Anfangswertproblem 3,2 besitzt eine eindeutige Lösung. Wenn y_{1}, …, y_{n} eine Basis des Lösungsraumes ist, dann ist die Wronskische

Determinante [\begin{matrix}y_{1}(a) & y′_{1}(a) & … & y_{1}^{(n−1)}(a) \\ … & … & … & … \\ y_{n}(a) & y′_{n}(a) & … & y_{n}^{(n−1)}(a) \end{matrix}] ungleich 0.

Literatur: [?, IV.15]

7 Lineare Rekursionen mit konstanten Koeffizienten

Die allgemeine Gestalt der skalaren linearen Rekursion von Ordnung k mit konstanten Koeffizienten ist

∀n ∈ ℕ : y_{n+k} + a_{1}y_{n+k−1} + ⋯ + a_{k−1}y_{n−1} + a_{k}y_{n} = 0,  (3)

wobei a_{1}, …, a_{k} reelle oder komplexe Konstanten sind, und y : ℝ → ℝ bzw. ℝ → ℂ die unbestimmte Funktion ist.

Wir bezeichnen die Menge aller Folgen in ℝ mit ℝ^{ℕ}. Die linke Seite von (3) läßt sich schreiben als F (y) = 0, wobei F : ℝ^{ℕ} → ℝ^{ℕ} der Operator

(f_{n})_{n} ↦ f^{(k)} + a_{1}f^{(k−1)} + ⋯ + a_{k−1}f′ + a_{k}f

ist. Das charakteristische Polynom von (3) ist P (T) = P_{F} (T) = T^{n} + a_{1}T^{n−1} + ⋯ + a_{n−1}T + a_{n}.

Die Menge der Operatoren ℝ^{ℕ} → ℝ^{ℕ}, die in der Form wie oben dargestellt werden können, bildet mit der punktweisen Addition und der Komposition als Multiplikation einen Ring. Dieser ist kommutativ und isomorph zum Polynomring ℝ[T]. Die Variable T entspricht dem Shift-Operator (f_{n})_{n} ↦ (f_{n+1})_{n}.

Nach Theorem 5 ist ℝ[T] auch isomorph zum Ring der linearen Differentialoperatoren mit konstanten Koeffizienten. Daher sind auch die beiden Operatorenringe isomorph. Für jede analytische Funktionen f und jeden Differentialoperator F bildet der entsprechende Folgenoperator die Folge der Ableitungen von f bei 0 auf die Folge der Ableitungen von F (f) bei 0 ab.

Satz 8. Es sei F (y) = 0 eine lineare Rekursionsgleichung k-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Es sei

P (T) = (T − λ_{1})^{e_{1}} … (T − λ_{m})^{e_{m}}, e_{1} + ⋯ + e_{m} = n

die Zerlegung vom charakteristischen Polynom in komplexe Linearfaktoren. Dann sind die Lösungen von F (y) = 0 genau die Linearkombinationen der Folgen

(λ_{1}^{n})_{n}, …, (λ_{1}^{n}ne_{1} − 1)_{n}, …, (λ_{m})^{n})_{n}, …, (λ_{m}^{n}n^{e_{m}−1})_{n}.

Literatur: [?, III.15.1]

8 Variation der Konstanten

Die allgemeine Gestalt der inhomogenen linearen Differentialgleichung ist

y^{(n)} + a_{1}y^{(n−1)} + ⋯ + a_{n−1}y′ + a_{n}y = f,  (4)

wobei a_{1}, …, a_{n} reelle oder komplexe Konstanten sind, und y : U → ℝ eine gesuchte Funktion von einer offenen Menge U ⊂ ℝ nach ℝ ist, und f : U → ℝ eine gegebene stetige Funktion ist.

Es sei y_{1}, …, y_{n} eine Basis für den Vektorraum der Lösungen, und C_{1}, …, C_{n} : U → ℝ stetig differenzierbare Funktionen, die das Gleichungssystem

C′_{1}y_{1} + ⋯ + C′_{n}y_{n} = 0,
C′_{1}y′_{1} + ⋯ + C′_{n}y′_{n} = 0,
…,
C′_{1}y_{1}^{(n−2)} + ⋯ + C′_{n}y_{n}^{(n−2)} = 0,
C′_{1}y_{1}^{(n−1)} + ⋯ + C′_{n}y_{n}^{(n−1)} = f

erfüllen. Diese Funktionen können durch Lösen eines linearen Gleichungssystems und anschließend Integration gefunden werden. Es existiert immer eine Lösung des Gleichungssystems, weil die Wronskische Determinante ungleich 0 ist. Dann ist C_{1}y_{1} + ⋯ + C_{n}y_{n} eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung 4.

Die Methode der Variation der Konstanten funktioniert auch, wenn a_{1}, …, a_{n} keine reellen Konstanten, sondern stetige Funktionen von U nach ℝ sind. Wir werden später zeigen, daß n Basislösungen für die homogene Gleichung existieren und daß die Wronskische Determinante auch in diesem Fall ungleich 0 ist.

Literatur: [?, IV.16,V.24]

9 Reduktion der Ordnung von linearen Differentialgleichungen

Die allgemeine Gestalt der linearen Differentialgleichung von Ordnung n mit variablen Koeffizienten ist

∀t : y^{(n)}(t) + a_{1}(t)y^{(n−1)}(t) + ⋯ + a_{n−1}(t)y′(t) + a_{n}(t)y(t) = f(t), (5)

wobei y die gesuchte Funktion von D ⊂ ℝ nach ℝ ist, und a_{1}, …, a_{n}, f : D → ℝ gegebene stetige Funktionen sind.

Für n = 1 ist die Methode der Trennung der Variablen anwendbar.

Für n > 1 gibt es im allgemeinen keine Darstellung der Lösung durch Integrale (dies ist ein Resultat der Differential-Galoistheorie). Man kann aber die Ordnung reduzieren, wenn eine Lösung bekannt ist: Es sei u : D → ℝ eine Lösung der Differentialgleichung 5, die auf D nirgends 0 ist. Dann setzt man y = uz in die Gleichung 5 ein und vereinfacht. Nach einer Division durch u erhält man eine Differentialgleichung der Ordung n für z, in welcher der Koeffiezient von z Null ist. Diese Gleichung kann man auffassen als eine Gleichung für z′ der Ordnung n − 1.

Literatur: [?, V.23]

10 Systeme linearer Diffentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

Ein System von n linearen Differentialgleichungen für n gesuchte Funktionen läßt sich schreiben als x′ = Ax⃗, wobei x⃗ : ℝ → ℝ^{n} bzw. ℝ → ℂ^{n} eine gesuchte vektorwertige Funktion ist, und A eine n × n-Matrix reeller oder komplexer Konstanten ist. Wir behandeln den komplexen Fall.

Formal kann das Anfangwertproblem

x′ = Ax⃗, x⃗(0) = a⃗, a⃗ ∈ ℂ^{n} gegeben

durch einen Potenzreihenansatz gelöst werden. Man erhält

x⃗(t) = e^{tA}a⃗, e^{tA} = I + tA + \frac{t^{2}}{2!} A^{2} + \frac{t^{3}}{3!} A^{3} + …

Zur Berechnung von e^{tA} verwenden wir die Jordan’sche Normalform J = T^{−1}AT, wobei die Spalten von T gewisse Verallgemeinerungen von Eigenvektoren sind,

und J eine Diagonalblockmatrix mit Blöcken der Gestalt [\begin{matrix}λ & 1 & 0 & … & 0 \\ 0 & λ & 1 & … & 0 \\ … & … & … & … & … \\ 0 & 0 & 0 & … & λ \end{matrix}]

sind, wobei λ ein Eigenwert ist. Zur Berechnung der Jordanschen Normalform wird auf das Skriptum von Erhard Aichinger verwiesen.

Vermittels der Jordanschen Normalform bekommt man die Jordansche Zerlegung

A = N + H, NH = HN,

in eine nilpotente Matrix N und eine diagonalisierbare Matrix H. Für kommutierende Matrizen (also Matrizen A, B mit AB = BA) gilt e^{t(A+B)} = e^{tA}e^{tB}. Für nilpotente Matrizen bricht die Exponentialreihe ab, weil N^{i} = 0 ist für i ≥ n. Falls D eine Diagonalmatrix mit Einträgen a_{1}, …, a_{n} ist, so ist e^{tD} eine Diagonalmatrix mit Einträgen e^{ta_{1}}, …, e^{ta_{n}}. Für eine diagonalisierbare Matrix H = T DT^{−1} gilt e^{tH} = T e^{tD}T^{−1}.

Wenn alle Eigenwerte von A negativen Realteil haben, dann ist lim_{t→∞} e^{tA} die Nullmatrix, und alle Lösungen des Differentialgleichungssystems konvergieren gegen den Nullpunkt. Der Nullpunkt ist dann ein asymptotisch stabiler Gleichgewichtspunkt.

Literatur: [?, III.8.1-3]

11 Variation der Konstanten für Systeme

Es sei D ⊂ ℝ ein reelles Intervall. Es sei D → ℝ^{n×n} eine matrix-wertige stetige Funktion. Für eine vektorwertige Funktion y : D → ℝ betrachtet man die homogene lineare Differentialgleichung mit variablen Koeffizienten

∀t : y′(t) − A(t)y(t) = 0.  (6)

Nach dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz (wird später behandelt) ist das Anfangswert für diese Gleichung für jede Stelle t_{0} und Anfanswert x_{0} ∈ ℝ^{n} eindeutig lösbar. Für fixes t_{0} definieren wir eine matrix-wertige Funktion B_{t_{0}} : D → ℝ^{n×n}, deren m-te Spalte die Lösung von Gleichung 6 mit y_{m}(t_{0}) = e_{m} (der mte Einheitsvektor) ist. Wegen der Linearität ist die Lösung mit Anfangsvektor y(t_{0}) = x gleich y(t) = B_{t_{0}}(t)x. Für jedes t_{0} ∈ D und t ist B_{t_{0}}(t) invertierbar, die inverse Matrix ist B_{t}(t_{0}). Die Matrixfunktion B_{t_{0}} erfüllt die Differentialgleichung (B_{t_{0}})′ = AB_{t_{0}}.

Wenn B_{t} bekannt ist, kann man die inhomogene Gleichung

∀t : y′(t) − A(t)y(t) = b(t),  (7)

wobei b : D → ℝ^{n} eine gegebene stetige Funktion ist, durch den Ansatz y(t) = B_{t_{0}}z(t) lösen. Nach Einsetzen und Kürzen erhält man B_{t_{0}}(t)z′(t) = b(t) oder äquivalent dazu

z′(t) = (B_{t_{0}}(t))^{−1}b(t),

und eine spezielle Lösung von (7) kann durch Integration berechnet werden. Die allgemeine Lösung von (7) läßt sich schreiben als spezielle Lösung plus allgemeine Lösung der homogenen Gleichung (6).

Literatur: [?, VIII.58]

12 Existenz und Eindeutigkeit

Ein metrischer Raum X mit Metrik d : X ×X → ℝ heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in X einen Grenzwert in X hat.

Es sei D ⊂ ℝ ein (offenes oder geschlossenes, beschränktes oder unbeschränktes) Intervall. Es sei C_{b}^{0}(D) die Menge der stetigen und beschränkten Funktionen von D nach ℝ.

Satz 9. Die Menge C_{b}^{0}(D) ist bezüglich der Norm (f, g) ↦ sup_{x∈D} |f(x)−g(x)| stetig.

Proof. Es sei (f_{n})_{n} eine Cauchy-Folge von stetigen Funktionen. Für jedes x ist dann auch die Folge der Funktionswerte (f_{n}(x))_{n} Cauchy, weil |f_{m}(x) − f_{m}(x)| ≤ d(f_{m}, f_{n}) gilt. Die reellen Zahlen sind vollständig, daher existiert der Grenzwert und wir können die Grenzfunktion f̄ : D → ℝ definieren durch f̄(x) = lim_{n→∞} f_{n}(x).

Um zu zeigen daß f̄ stetig ist, wählen wir ϵ > 0 und n so, daß d(f_{n}, f̄) < ϵ/3 ist. Wir wählen auch ein kompaktes Teilintervall I ⊂ D, in diesem ist f_{n} gleichmäßig stetig und es existiert δ mit |f_{n}(x) − f_{n}(y)| ≤ ϵ/3. Dann ist wegen der Dreiecksungleichung |f̄(x) − f̄(y)| ≤ |f̄(x) − f_{n}(x)| + |f_{n}(x) − f_{n}(y)| + |f_{n}(y) − f̄(y)| < ϵ/3 + ϵ/3 + ϵ/3 = ϵ für alle x, y ∈ I mit |x − y| < δ, also ist f̄ gleichmäßig stetig in I. Das gilt für jedes kompakte Teilintervall, daher ist f̄ in ganz D stetig.

Satz 10 (Banachscher Fixpunktsatz). Es sei X ein vollständiger metrischer Raum und f : X → X eine kontrahierende Abbildung, das heißt es existiert c < 1 sodaß für alle x, y ∈ X gilt d(f(x), d(y)) ≤ cd(x, y). Dann besitzt f einen eindeutigen Fixpunkt.

Satz 11 (Picard/Lindelöf). Es sei D ein Intervall (offen oder abgeschlossen, beschränkt oder unbeschränkt), F : D × ℝ → ℝ eine stetige Funktion, die die Lipschitz-Bedingung erfüllt: es existiert eine Konstante L ∈ ℝ, sodaß für alle x ∈ D, y, z ∈ ℝ gilt |F (x, y) − F (x, z)| ≤ L|y − z|. Es sei x_{0} ∈ D, y_{0} ∈ ℝ. Dann hat das Anfangswertproblem

y′(x) = F (x, y(x)), y(x_{0}) = y_{0}

eine eindeutige Lösung y : D → ℝ.

Proof. Wir beweisen den Satz zunächst für ein kompaktes Teilintervall I = [a, b] in D. Wir definieren den Operator P : C_{b}^{0}(I) → C_{b}^{0}(I) durch

f ↦ P (f), P (f)(x) = y_{0} + ∫_{x_{0}}^{x} F (t, f(t))dt

Jede Lösung des Anfangwertproblems ist ein Fixpunkt von P, und umgekehrt ist jeder Fixpunkt differenzierbar und löst das Anfangswertproblem. Durch Abschätzen des Integrals zeigt man die Ungleichung

d(P (f), P (g)) ≤ L(b − a)d(f, g)

für alle f, g ∈ C_{b}^{0}(I).

Falls L(b − a) < 1 ist, gilt die Existenz und Eindeutigkeit wegen Satz 10. Im allgemeinen Fall, bzw. falls D nicht kompakt ist, kann man D überdecken durch überlappende kompakte Teilintervalle und bekommt die Existenz und Eindeutigkeit durch Fortsetzen der Lösung auf den Teilintervallen.

Der Satz von Picard/Lindelöf gilt auch für vektorielle Anfangswertprobleme und damit auch für Differentialgleichungen höherer Ordnung, weil diese durch Einführung von Geschwindigkeitskoordinaten auf vektorielle Differentialgleichungen zurückgeführt werden kann.

13 Folgerungen aus Picard/Lindelöf

Satz 12. Es sei n ∈ ℕ. Es seien a_{1}, …, a_{n}, b : D → ℝ stetige Funktionen, x_{0} ∈ D, y_{0}, …, y_{n−1} ∈ ℝ. Dann hat das Anfangswertproblem

y^{(n)}(x)+a_{1}(x)y^{(n−1)}(x)+⋯+a_{n}(x)y(x) = b(x), y(x_{0}) = y_{0}, …, y^{(n−1)}(x_{0}) = y_{n−1}

eine eindeutige Lösung.

Proof. Auf jedem kompakten Teilintervall erfüllt die Funktion F : D×R^{n} → ℝ^{n},

(x, y_{0}, …, y_{n−1}) ↦ (y_{1}, …, y_{n−1}, b(x) − a_{1}(x)y_{n−1} − ⋯ − a_{n}(x)y_{0})

eine Lipschitzbedingung. Daher kann man die vektorielle Version von Satz 11 anwenden.

Aus dem Beweis (nicht in dieser Zusammenfassung enthalten) des Banachschen Fixpunktsatzes 10 erhält man die Abschätzung für die Entfernung zum Fixpunkt x̄:

d(x, x̄) ≤ \frac{d(x, f(x))}{1 − c}.

Diese Abschätzung erlaubt, die Genauigkeit einer Näherungslösung abzuschätzen.

Wir betrachten zum Beispiel das Euler’sche Polygonzugverfahren. Es sei F : ℝ → ℝ Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante L. Es seien a, b, y_{0} ∈ ℝ, x_{0} ∈ [a, b]. Wir approximieren die Lösung des Anfangswertproblems y′(x) = F (y(x)), y(a) = y_{0} wie folgt: Zuerst wird das Intervall unterteilt in N gleich große Teilintervalle. Wir setzen h := \frac{b−a}{N}, x_{i} := a + ih und für i = 0, …, N (d.h. x_{0} = a, x_{N} = b). DDann setzen wir p_{i} = F (y_{i}) und y_{i+1} := y_{i} + p_{i}h für i = 0, …, N − 1. Die approximierende Funktion ist nun die stückweise lineare Funktion z, für die z(x_{i}) = y_{i} gilt: im Intervall x ∈ [x_{i}, x_{i+1}] ist z(x) = y_{i} + p_{i}(x − x_{i}). In jedem Intervall gilt die Abschätzung

|y_{i+1} − y_{i} − ∫_{x_{i}}^{x_{i+1}} F (z(t))dt| = |F (y_{i})h − ∫_{x_{i}}^{x_{i+1}} F (z(t)))dt| =

|∫_{x_{i}}^{x_{i+1}}(F (y_{i}) − F (z(t))dt| ≤ L |∫_{x_{i}}^{x_{i+1}}(y_{i}) − z(t))dt| =

L |∫_{x_{i}}^{x_{i+1}} p_{i}(t − x_{i})dt| = Lp_{i} \frac{h^{2}}{2} = \frac{Lp_{i}(b − a)^{2}}{2N^{2}} .

Die Distanz d(z, P (z)) kann abgeschätzt werden durch die Summe von höchstens N der Teil-Abschätzungen, und das ist nach oben beschränkt durch \frac{LM(b−a)^{2}}{2N}, wobei M eine obere Schranke für F ist. Für große N geht der Fehler gegen Null.

Um die Abhängigkeit der Lösung vom Anfangswert zu untersuchen, nehmen wir an, daß f, g beide die Differentialgleichung erfüllen, aber verschiedene Anfangswerte haben: f(x_{0}) = y_{0}, g(x_{0}) = z_{0}. Dann betrachtet man g als Näherungslösung für das Anfangswertproblem mit Anfangsbedingung y(x_{0}) = y_{0} und bekommt die Abschätzung |f(x_{1}) − g(x_{1})| ≤ \frac{|y_{0}−z_{0}|}{1−L|x_{1}−x_{0}|} im Fall daß der Nenner positiv ist. Andernfalls führt Unterteilung des Intervalls zu einer ähnlichen Abschätzung (Übung?).

Die Stetigkeit in den Anfangsbedingung ist auch für den vektoriellen Fall erfüllt (mit einer ähnlichen Abschätzung).

Wenn die rechte Seite der Differentialgleichung stetig von Parametern abhängt, dann ist die Lösung ebenfalls stetig in den Parametern. Das läßt sich dadurch zeigen, daß man die Parameter als zusätzliche Koordinaten der gesuchten Funktion einführt, deren Ableitung konstant gleich 0 ist.

14 Der Fluß eines Vektorfeld

Es sei F : ℝ^{n} → ℝ^{n} ein stetig differenzierbares Vektorfeld mit beschränkter Ableitung (damit die Lipschitz-Bedingung erfüllt ist). Es sei ϕ : ℝ × ℝ^{n} → ℝ^{n} die Abbildung, die durch die Bedingungen ϕ(0, y⃗) = y⃗ for all y⃗ ∈ ℝ^{n}, \frac{∂ϕ}{∂t}(t, y) = F (ϕ(t, y)) definiert ist. Sie beschreibt die Lösung in Abhängigkeit von den Anfangswerten und ist daher stetig. Sie erfüllt die Funktionalgleichung

ϕ(t_{1} + t_{2}, y⃗) = ϕ(t_{1}, ϕ(t_{2}(y⃗)),  (8)

insbesondere ist ϕ_{t} : R^{n} → ℝ^{n}, ϕ_{t}(y⃗) = ϕ(t, y⃗) invertierbar mit inverser Abbildung ϕ_{−t}. Die Abbildung ϕ heißt Fluß des Vektorfeldes F : ℝ^{n} → ℝ^{n}.

Wenn das Richtungsfeld F nicht Lipschitz-stetig ist, dann muß der Fluß nicht überall definiert sein. Wenn F differenzierbar ist, dann ist die Lipschitzbedingung zumindest lokal auf jeder kompakten Teilmenge erfüllt, und für jeden Punkt y⃗ ∈ ℝ^{n} ist der Fluß lokal in einer einen offenen Umgebung von (0, y⃗) definiert.

Satz 13. Es sei U ⊂ ℝ^{n} offen und F : U → ℝ^{n} ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann ist der Fluß ϕ in seinem ganzen Definitionsbereich differenzierbar.

Proof. Es sei y⃗ ∈ U. Wegen der Funktionalgleichung 8 reicht es zu zeigen, daß ϕ an der Stelle (0, y⃗) differenzierbar ist. Es ist schon gezeigt, daß ϕ stetig ist, außerdem existiert die “Zeitableitung” \frac{∂ϕ}{∂t}(t, y⃗) = F (t, ϕ(t, y⃗)). Es reicht zu zeigen, daß die “Raumableitung” \frac{∂ϕ}{∂y⃗} existiert und stetig ist (der Wert der Raumableitung ist eine lineare Abbildung von ℝ^{n} nach ℝ^{n}). Wir zeigen nur den Fall n = 1.

Es sei z ∈ U, z ≠ y(= y⃗). Die Funktion g_{z} : t ↦ \frac{ϕ(t,z)−ϕ(t,y)}{z−y} erfüllt die

Differenzialgleichung g′_{z}(t) = v_{z}(t)g_{z}(t) mit v_{z}(t) = \frac{F (ϕ(t,z))−F (ϕ(t,y))}{ϕ(t,z)−ϕ(t,y)} und die Anfangsbedingung g_{z}(0) = 1. Dieses Anfangswertproblem ist linear, und nach Satz 12 ist der Grenzübergang z → y erlaubt. Da F differenzierbar ist, ist lim_{z→y} v_{z}(t) definiert und gleich w(t) := F′(ϕ(t, y)). Daher existiert auch die Raumableitung h als Lösung des Anfangwertproblems h′(t) = w(t)h(t), h(0) = 1.

Der Beweis läßt sich auf n > 1 verallgemeinern, man braucht aber n weitere Lösungen z_{1}, …, z_{n}, für die n partiellen Ableitungen.

15 Analyse von Gleichgewichtspunkten

Es sei U ⊂ ℝ^{n} offen, F : U → ℝ^{n}, (x_{1}, …, x_{n}) ↦ (F_{1}(x_{1}, …, x_{n}), …, F_{n}(x_{1}, …, x_{n})) ein stetig differenzierbares Richtungsfeld. Es sei p ∈ U ein Gleichgewichtspunkt. Wir definieren die Einzugsmenge und Auszugsmenge

E_{p} := {x | lim_{t→∞} ϕ(t, x) = p},

A_{p} := {x | lim_{t→−∞} ϕ(t, x) = p}.

Wenn E_{p} eine offene Umgebung von p ist, dann nennen wir p eine Senke. Wenn A_{p} eine offene Umgebung von p ist, dann nennen wir p eine Quelle.

Es sei f : U → ℝ eine differenzierbare Funktion. Dann ist die Richtungsableitung definiert als

δ_{F} (f) = F_{1} \frac{∂f}{∂x_{1}} + ⋯ + F_{n} \frac{∂f}{∂x_{n}} .

Wenn x : ℝ → U eine Lösungskurve ist, dann ist δ_{F} (f)(x⃗) die Ableitung der Funktion ℝ → ℝ, t ↦ f(x(t)).

Satz 14. (Ljapunov) Es sei p ∈ U ein Equilibrium. Wenn eine differenzierbare Funktion f : U → ℝ existiert, die bei p ein globales Minimum annimmt, und deren Richtungsableitung auf U \ {p} positiv bzw. negativ ist, dann ist p eine Quelle bzw. Senke. Eine solche Funktion heißt auch Ljapunov-Funktion.

Proof. (nur Senken): Die Lösungskurven können die Teilgebiete {x | f(x) < a}, wobei a > f(p) ist, nie verlassen. Außerdem ist die Ableitung der Funktion t ↦ f(x(t)) stets negativ für x(t) ≠ p, daher ist lim_{t→∞} x(t) = p für alle Lösungskurven.

Satz 15. Es sei p ∈ U ein Equilibrium, sodaß die Eigenwerte der Ableitung F′(p) : ℝ^{n} → ℝ^{n} (einer linearen Abbildung) alle positiven bzw. negativen Realteil haben. Dann ist p eine Quelle bzw. Senke.

Proof. Wenn F′(p) durch die Matrix A definiert ist, so ist x ↦ x^{t}A^{t}Ax eine Ljapunov-Funktion – siehe Übung 8 Nummer 4.

Satz 16. Es sei p ∈ U ein Equilibrium, sodaß die Eigenwerte der Ableitung F′(p) : ℝ^{n} → ℝ^{n} Realteil ungleich 0 haben. Dann existiert eine offene Teilmenge V ⊂ U, sodaß die Einzugsmenge und Auszugsmenge des eingeschränkten Richtungsfeld differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind mit dim(E_{p}) + dim(A_{p}) = n, die einander in p transversal schneiden.

Proof. Es sei L : x ↦ F′(p)(x − p) die lineare Approximation von F. Mit einer geeigneten linearen Koordinatentransformation kann man erreichen, daß die ersten m Einheitsvektoren die Summe aller verallgemeinerten Eigenräume mit negativem Realteil aufspannen und die restlichen n−m Vektoren die Summe aller verallgemeinerten Eigenräume mit positivem Realteil aufspannen. Nach ein Einschränkung auf eine geeignete offene Teilmenge V kann man E_{p} konstruieren als Graph einer differenzierbaren Funktion f : ℝ^{m} → ℝ^{n−m}. Die Idee ist, eine Abbildung H dieser Funktionenmenge auf sich selbst zu definieren durch die Vorschrift, daß ϕ_{1} den Graph von f in den Graph von H(f) überführt. Man kann zeigen, daß H einen eindeutigen Fixpunkt hat, dessen Ableitung im Nullpunkt gleich 0 ist.

Definition 12. Ein Gleichgewichtspunkt, bei dem die Eigenwerte der Jacobi-Matrix Realteil ungleich Null haben, heißt hyperbolischer Gleichgewichtspunkt.

Das qualititive Verhalten eines dynamischen Systems in der Nähe eines hyperbolischen Gleichgewichtspunktes wird von der Jacobi-Matrix beim Gleichgewichtspunkt bestimmt: sind alle Realteile der Eigenwerte positiv, liegt ein Quelle vor; wenn alle Realteile der Eigenwerte negativ sind, dann liegt eine Senke vor; gibt es sowohl Eigenwerte mit positivem als auch Eigenwerte mit negativem Realteil, dann liegt ein Sattelpunkt vor.

16 Grenzzyklen

Es sei wieder U ⊂ ℝ^{n} offen, F : U → ℝ^{n}, (x_{1}, …, x_{n}) ↦ (F_{1}(x_{1}, …, x_{n}), …, F_{n}(x_{1}, …, x_{n})) ein stetig differenzierbares Richtungsfeld. Eine Lösungskurve z : ℝ → U mit z(t + h) = z(t) für alle t heißt Zykel oder periodischer Orbit. Wenn für eine andere Lösungskurve x : ℝ_{+} → U gilt, daß für alle t_{0} ∈ ℝ und ϵ > 0 und N > 0 ein t_{1} > N existiert, sodaß ||x(t_{1}) − z(t_{0})|| < ϵ gilt, dann sagen wir daß die Kurve x sich asymptotisch an den Zykel z annähert.

Satz 17 (Poincaré-Bendixsohn). Es sei n = 2. Es sei K ⊂ U eine kompakte Teilmenge von U, der keine Gleichgewichtspunkte enthält. Es sei x : ℝ_{+} → K ⊂ U eine Lösungskurve, die K nicht verläßt. Dann existiert ein Zykel, an den sich x asymptotisch annähert.

Proof. Man wähle für jeden Punkt aus K eine Gerade, die das Richtungsfeld transversal schneidet, und eine offene Umgebung sodaß jede darin enthaltene Lösungskurve die Gerade genau einmal schneidet. Wegen der Kompaktheit von K kann man diese Überdeckung durch offene Mengen durch eine endliche Teilüberdeckung ersetzen. Es muß nun zumindest eine dieser offenen Teilmengen geben, die von x für beliebig große t immer wieder geschnitten wird. Das darin enthaltene Geradenstück L wird dann ebenfalls immer wieder von x geschnitten.

Wir betrachten die Folge (x_{i})_{i} von aufeinanderfolgenden Schnittpunkten mit L. Wegen dem Jordan’schen Kurvensatz ist die Folge monoton steigend oder fallend. Da die Folge beschränkt ist, existiert der Grenzwert x̄. Wegen der Stetigkeit des Flußes ist die Lösungskurve z mit Anfangspunkt x̄ periodisch, und x nähert sich asymptotisch an z an.

Für Richtungsfelder im ℝ^{3} gibt es keinen analogen Satz. Es gibt Beispiele von Fraktalen mit der Eigenschaft, daß sich jede Lösungskurve an diese asymptotisch annähert (“seltsame Attraktoren” wie etwa den Lorenz-Attraktor oder den Rössler-Attraktor). Das dynamische Verhalten auf diesen beiden Attraktoren ist “chaotisch”, das heißt die periodischen Orbits liegen dicht im Attraktor, und für zwei offene Mengen U und V gibt es einen Orbit der beide schneidet (topologische Vermischung).

17 Bifurkationstheorie

Wenn F : ℝ^{n} → ℝ^{n} ein stetiges Richtungsfeld ist, und o ∈ ℝ^{n} kein Gleichgewichtspunkt ist, dann ist der Fluß von F lokal equivalent zum Fluß eines konstanten Vektorfelds. Wenn nun das Richtungsfeld von einem oder mehreren reellen Parametern abhängt und diese Parameter Störungen unterliegen, dann ändert sich das lokale Verhalten qualitativ nicht, solange die Störung klein genug ist (solange nur das Richtungsfeld bei o nicht verschwindet).

Auch wenn o ein hyperbolischer Gleichgewichtspunkten ist, ist das lokale Verhalten unabhängig von kleinen Störungen. Das besagt der folgende Satz.

Satz 18. Es sei o ∈ ℝ^{n}, U ⊂ ℝ^{n} eine offene Umgebung von U, I ⊂ ℝ ein Intervall, welches 0 als inneren Punkt enthält, F : U × I → ℝ^{n} ein Richtungsfeld, sodaß o ein hyperbolischer Gleichgewichtspunkt des Richtungsfeldes bei 0 ist. Dann gibt es ein Teilintervall J ⊂ I, sodaß für alle λ ∈ J das Richtungsfeld bei λ wieder einen hyperbolischen Gleichgewichtspunkt besitzt. Dabei ist das qualitative Verhalten gleich dem des Gleichgewichtsounktes o im Richtungsfeldes bei 0.

Proof. Für λ ∈ I bezeichnen wir mit F_{λ} : U → ℝ^{n}, x → F (x, λ) das Richtungsfeld bei λ. Die Funktion F_{0} bildet den Punkt o auf den Nullpunkt ab und hat Jacobi-determinante ungleich 0 (da alle Eigenwerte Reilteil ungleich Null haben). Nach dem Satz über implizite Funktionen ist F_{0} ein lokaler Isomorphismus von einer eventuell kleineren Umgebung U′ ⊂ U auf eine Umgebung V des Nullpunkts. Das Nicht-Verschwinden der Jacobi-determinante ist auch noch erfüllt für F_{λ}, falls λ nahe genug bei Null ist. Nach eventueller weiterer Verkleinerung der Umgebungen U′ und V ist F_{λ} ein Isomorphismus von U′′ und V′, und das inverse Bild des Nullpunkts ist der einzige Gleichgewichtspunkt von F_{λ} in U′′. Die Stetigkeit der Eigenwerte liefert den Rest der Behauptung.

Im Gegensatz dazu können nichthyperbolische Gleichgewichtspunkte durch kleine Störungen den Typ ändern, verschwinden, oder in mehrere Gleichgewichtspunkte “aufspalten”. In der Bifurkationstheorie werden die Möglichkeiten untersucht, wie nichthyperbolische Gleichgewichtspunkte durch kleine Störungen beeinflußt werden.

Sattelknoten-Bifurkation: F_{λ}(x_{1}, …, x_{n}) = (λ + x_{1}^{2}, x_{2}, …, x_{n}). Für λ < 0 befinden sich in der Nähe von (0, …, 0) eine Quelle und ein Sattelpunkt (bzw. Senke falls n = 1), für λ > 0 gibt es keine Equilibrien.

transkritische Bifurkation: n = 1, F (x, λ) = λx + x^{2}. Hier gibt es für λ ≠ 0 zwei Equilibrien, eine Quelle und eine Senke, die beim Durchgang durch Null “den Typ vertauschen”.

Graphische Darstellung von Bifurkationsdiagrammen im Fall n = 1: In der (x, λ)-Ebene werden für jedes λ die hyperbolischen Gleichgewichtspunkte durch Kurven gezeichnet, wobei Senken als durchgehende Kurven und Quellen strichliert dargestellt werden.

18 Lineare Diskrete Dynamische Systeme

Ein diskretes dynamisches System beschreibt eine Folge (x_{n})_{n} von reellem Zahlen durch eine Rekursion von Ordnung k > 0

x_{n+k} = F (n, x_{n}, x_{n+1}, …, x_{n+k−1})

und duch Anfangswerte x_{0}, …, x_{k−1} ∈ ℝ. Wenn F nicht von n abhängt und linear in x_{n}, x_{n+1}, …, x_{n+k−1} ist, dann sprechen wir von einer linearen Rekursion mit konstanten Koeffizienten; sie hat die Form

x_{n+k} = a_{0}x_{n} + ⋯ + a_{k−1}x_{n+k−1}.

Das charakteristische Polynom ist definiert als

P (T) = T^{k} − a_{0} − a_{1}T − ⋯ − a_{k−1}T^{k−1}.

Die Lösungen einer linearen Rekursion der Ordnung k bilden einen Vektorraum der Dimension k. Wenn man das charakterische Polynom als ein Produkt

P (T) = (T − α_{1})^{e_{1}} ⋯ (T − α_{m})^{e_{m}}

von Linearfaktoren schreibt, e_{1} + ⋯ + e_{m} = k, α_{1}, …, α_{m} ∈ ℂ, dann ist die allgemeine Lösung der Rekursionsgleichung

x_{n} = (C_{1} + ⋯ + C_{e_{1}}n^{e_{1}−1})α_{1}^{n} + ⋯ + (C_{k−e_{m}+1} + ⋯ + C_{k}n^{e_{m}−1})α_{m}^{n},

wobei C_{1}, …, C_{k} reelle oder komplexe Konstanten sind, die aus den Anfangswerten bestimmt werden können.

Die Parallele zu den linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten läßt sich wie folgt erklären. Es sei A die Menge der analytischen Funktionen ℝ → ℝ, deren Taylorentwicklung bei 0 den Konvergenzradius unendlich

hat. Es sei F die Menge aller Folgen (a_{n})_{n}, für die lim_{n→∞} \sqrt[n]{\frac{|a_{n}|}{n!}} = 0 ist. Dann ist durch ρ : A → F und σ : F → A,

ρ(f) := (f^{(n)}(0))_{n}, σ((a_{n})_{n}) = (x ↦ ∑_{n=0}^{∞} a_{n} \frac{x^{n}}{n!} )

ein Isomorphismus gegeben, der den Lösungsraum der linearen Differentialgleichung in den Lösungsraum der Rekursion mit gleichem charakteristischem Polynom überführt.

19 Die Rekursion erster Ordung

Die allgemeine zeitunabhängige Rekursion erster Ordnung hat die Gestalt

x_{n+1} = F (x_{n}), F : ℝ → ℝ stetig;

mit einem Startwert x_{0} ist die Folge (x_{n})_{n} eindeutig bestimmt. Ein k-Zykel (k > 0) liegt vor, wenn die Folge periodisch mit Periode k ist. Die 1-Zyklen entsprechen genau den Fixpunkten von F. Jeder k-Zykel beginnt mit einem Fixpunkt von F^{k}, und umgekehrt ist jede Folge mit einem Fixpunkt von F^{k} als Startwert ein l-Zykel mit l|k.

Ein Zykel heißt Attraktor, wenn eine offene Umgebung von des Startwertes existiert, sodaß jede Folge, die in dieser Umgebung startet, gegen den Zykel konvergiert.

Satz 19. Es sei (x_{1}, …, x_{k}) ein k-Zykel mit Startwert x_{1}. Wenn |(F^{k})′(x_{1})| < 1, dann ist der Zykel ein Attraktor. Wenn |(F^{k})′(x_{1})| > 1, dann ist der Zykel kein Attraktor (sondern ein “Repellor”, d.h. es existiert eine Umgebung U von x_{1}, sodaß jede Folge mit Startwert in U \{x_{1}} nicht gegen den Zykel konvergiert).

Wenn |(F^{k})′(x_{1})| = 1, dann sind höhere Ableitungen entscheidend. Hier ist es möglich, dass der Zykel rechts anzieht und links abstößt oder umgekehrt.

Jede quadratische Rekursion x_{n+1} = ax_{n}^{2} + bx_{n} + b, die mindestens einen Fixpunkt hat, läßt sich durch eine lineare Koordinatentransformation auf eine ”logistische” Rekursion x_{n+1} = F (x_{n}) = rx_{n}(1 − x_{n}) mit r ≥ 1 überführen. Sobald die Folge ein Glied außerhalb des Intervalles [0, 1] hat, divergiert sie gegen −∞.

Wenn r ≤ 4, dann bleibt jede Folge mit Startwert in [0, 1] in diesem Intervall. Die Struktur der Zyklen hängt von r ab und nimmt an Komplexität zu, wenn r größer wird.

Für r = 4 ist die Rekursion auf dem gesamten Intervall [0, 1] chaotisch, das heisst die Zykel liegen dicht und für zwei beliebige offene Mengen existiert eine Folge mit Werten in beiden offenen Mengen (topologische Vermischung).

Für r > 4 divergieren die meisten zufällig gewählten Folgen mit Startwert in [0, 1] gegen −∞, es gibt aber eine Teilmenge, auf der das Verhalten chaotisch ist.

Der folgende Satz gilt für beliebige Rekursionen erster Ordung. Siehe auch folgenen Übersichtsartikel.

Die Sharkowski-Ordnung ist folgende lineare Ordung auf den natürlichen Zahlen:

1 ◁ 2 ◁ 2^{2} ◁ … 2^{2}7 ◁ 2^{2}5 ◁ 2^{2}3 ◁ … 2 · 7 ◁ 2 · 5 ◁ 2 · 3 ◁ … 7 ◁ 5 ◁ 3

Satz 20 (Sharkowski). Wenn m ◁ n, dann hat jede Funktion, die einen n-Zykel hat, auch einen m-Zykel; und es existiert eine Funktion, die einen m-Zykel, aber keinen n-Zykel hat.

Zum Beispiel hat jede Funktion, die einen 3-Zykel hat, Zyklen beliebiger Länge, und jede Funktion die überhaupt einen Zykel hat, hat auch einen Fixpunkt.

20 Bifurkationstheorie für diskrete Systeme

21 Ein Eigenwertproblem

Es seien [a, b] ⊂ ℝ ein Intervall. Es seien f, g, h : [a, b] → ℝ stetige Funktionen, wobei a stetig differenzierbar sein soll, f keine Nullstelle am Rand und h überhaupt keine Nullstelle hat. Beim Eigenwertproblem sind λ ∈ ℝ und y ∈ C^{2}([a, b]) gesucht, sodaß für alle t ∈ [a, b]

f(t)y′′(t) + f′(t)y′(t) + g(t)y(t) = λh(t)y(t)

gilt und y(a) = y(b) = 0 ist.

Für festes λ ∈ ℝ existiert im allgemeinen nur die triviale Lösung y(t) = 0, weil der Lösungsraum der Differentialgleichung ein zwei-dimensionaler Vektorraum ist und für die Randbedingungen zwei zusätzliche lineare Bedingungen sind. Für spezielle λ sind diese zwei Bedingungen linear abhängig, und es existiert eine nichttriviale Lösung y_{λ}. Dann heißt λ Eigenwert und y_{λ} die zu λ gehörende Eigenlösung.

Wir definieren auf dem Vektorraum C^{0}([a, b]) das Skalarprodukt

⟨u, v⟩ := ∫_{a}^{b} h(t)u(t)v(t)dt.

Satz 21. Die Eigenlösungen zu zwei verschiedenen Lösungen sind aufeinander normal im Sinn des oben definierten Skalarprodukts.

Proof. Es seien λ_{1} ≠ λ_{2} Eigenwerte und y_{1}, y_{2} die dazugehörigen Eigenfunktionen. Dann ist

(λ_{1}−λ_{2})⟨y_{1}, y_{2}⟩ = ∫_{a}^{b}((f(t)y′′_{1}(t)+f′(t)y′_{1}(t)+g(t)y_{1}(t))y_{2}(t)−(f(t)y′′_{2}(t)+f′(t)y′_{2}(t)+g(t)y_{2}(t))y_{1}(t))dt

= ∫_{a}^{b}(f(t)y′_{1}(t)y_{2}(t)−f(t)y′_{2}(t)y_{1}(t))′dt = (f(b)y′_{1}(b)y_{2}(b)−f(b)y′_{2}(b)y_{1}(b))−(f(a)y′_{1}(a)y_{2}(a)−f(a)y′_{2}(a)y_{1}(a)) = 0

22 Die Wärmeleitungsgleichung

Wenn u : [0, 1] × [0, ∞) die Temperatur an der Stelle x zum Zeitpunkt t eines Stabes der Länge 1 beschreibt, so erfüllt u die partielle Differentialgleichung

\frac{∂^{2}u(x, t)}{∂x^{2}} = \frac{∂u(x, t)}{∂t}.

Wir nehmen an, daß die Temperatur aan den beiden Randpunkten konstant ist – u(0, t) = u(1, t) = 0 – und daß die Anfangsverteilung u(x, 0) = v(x) gegeben ist.

Die Linearität der Gleichung gibt Anlaß zur Hoffnung, daß sich die gesuchte Lösung aus Basislösungen zusammenläßt. Für die Basislösung setzen wir u(x, t) = f(x)g(t) an und erhalten die gewöhnlichen Differentialgleichungen

f′′(x) + λf(x) = 0, g′(t) + λg(t) = 0,

wobei λ ∈ ℝ konstant ist. Wegen der Randbedingung gilt f(0) = f(1) = 0, das heißt die Differentialgleichung und Randbedingung für f stellen ein Eigenwertproblem dar.

Die Eigenwerte sind λ_{n} = n^{2}π^{2} für n = 1, 2, 3, …, mit Eigenlösung z_{n}(x) = sin(nπx). Wenn sich die Anfenagsverteilung in eine Sinusreihe entwickeln läßt,

v(x) = ∑_{n=1}^{∞} a_{n}z_{n}(x),

dann ist die gesuchte Lösung

u(x, t) = ∑_{n=1}^{∞} a_{n}z_{n}(x)e^{−n^{2}π^{2}t}.

Da die Eigenlösungen orthogonal zueinander sind, lassen sich die Koeffizienten durch

a_{n} = \frac{⟨v, z_{n}⟩}{⟨z_{n}, z_{n}⟩} = 2 ∫_{0}^{1} v(x)z_{n}(x)dx

bestimmen.

23 Die Wellengleichung

Die eindimensionale Wellengleichung

\frac{∂^{2}u(x, t)}{∂x^{2}} = \frac{∂^{2}u(x, t)}{∂t^{2}}

mit Randbedingungen u(0) = u(1) = 0 beschreibt die Schwingung einer eingespannten Saite. Sie läßt sich ähnlich wie die Wärmeleitungsgleichung behandeln: wenn die Anfangsauslenkung u(x, 0) = v(x) sich in eine Sinusreihe

v(x) = ∑_{n=1}^{∞} a_{n} sin(nπx)(x)

entwickeln läßt, und die Anfangsgeschwindigkeit u_{x}(x, 0) gleich 0 ist für alle x, dann ist die gesuchte Lösung

u(x, t) = ∑_{n=1}^{∞} a_{n} sin(nπx) cos(nπt).

Die Schwingung läßt sich also darstellen als Überlagerung von Schwingungen der Frequenzen \frac{1}{π} , \frac{2}{π} , \frac{3}{π} , . . ..

Wenn u(x, y, t) eine zweidimensionale Welle beschreibt, so erfüllt sie die partielle Differentialgleichung

u_{xx} + u_{yy} = u_{tt}.

Für kreisförmige Wellen ist u(x, y, t) = v(r, t), r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}, und v erfüllt die Gleichung

v_{rr} + \frac{1}{r}v_{r} = v_{tt}.

Um Basislösungen zu finden, setzen wir v = f(r)g(t), und erhält die Gleichungen

f′′(r) + \frac{1}{r}f′(r) + λf(r) = 0, g′′(t) + λg(t) = 0,

wobei λ ∈ ℝ eine Konstante ist. Für λ > 0 ist g periodisch.

Wenn man v(1, t) = 0 für alle t annimmt, dann erhält für f wieder ein Eigenwertproblem. Die zwei Bedingungen an den Randpunkten sind f(1) = 0 und lim_{x→0} f(x) < ∞ – die Differentialgleichungen hat bei 0 einen Pol und besitzt auch Lösungen, die bei x = 0 eine senkrechte Asymptote haben. Für λ = 1 existiert eine nichttriviale Lösung, die man durch Potenzreihenansatz entwickeln kann (mit y_{1}(0) = 1):

y_{1}(x) = 1 − \frac{x^{2}}{4} + \frac{x^{4}}{4 · 16} − \frac{x^{6}}{4 · 16 · 36} + ⋯ = ∑_{n=0^{∞}}(−1)^{n} \frac{x^{2n}}{4^{n}n!^{2}}

(Diese Funktion heißt auch Besselfunktion erster Art der Ordnung 0.) Für allgemeines λ > 0 ist y_{λ}(x) = y_{1}(\sqrt{λ}x) eine Lösung der Differentialgleichung, und die Eigenwerte sind die Quadrate der Nullstellen von y_{1}.

24 Die Wellengleichung, zweite Methode

Die eindimensionale und die dreidimensionale Wellengleichung lassen sich auch mit einer anderen Methode behandeln, die eigentlich nichts mit dem Thema gewöhnliche Differentialgleichungen zu tun hat, aber trotzdem erwähnt werden soll.

Die eindimensionale Wellengleichung kann durch die Variablentransformation p = x − t, q = x + t, also u(x, t) = w (\frac{p+q}{2} , \frac{p+q}{2} ), auf die partielle Differentialgleichung w_{pq} = 0 transformiert werden. Die allgemeine Lösung ist w(p, q) = f(p) + g(q), also

u(x, t) = f(x − t) + g(x + t).

Durch die Randbedingung u(0, t) = u(1, t) = 1 erhält zusätzliche Bedingungen an f, g, insbesondere Periodizität. Die Zerlegung in Eigenschwingungen kann man mit dieser Methode nicht sehen, dafür laßen sich lokale Wellen besser beschreiben, solche, wo die Anfangsfunktion u(x, 0) nur auf einem kleinen Teilintervall ungleich Null ist: diese treiben mit Geschwindigkeit 1 nach links oder nach rechts.

Für dreidimensionale Kugelwellen, die mit der Gleichung

v_{rr} + \frac{2}{r}v_{r} = v_{tt}

beschrieben werden, funktioniert die Methode auch, weil die obige Gleichung durch v_{r} = \frac{w_{r}}{r} auf die eindimensionale Wellengleichung w_{rr} = w_{tt} zurückgeführt werden kann. Die allgemeine Lösung ist

v(r, t) = \frac{f(r − t) + g(r + t)}{r}.

25 Variationsrechnung

Es sei [a, b] → ℝ ein beschränktes Intervall, L : ℝ^{2} → ℝ stetig differenzierbar, c, d ∈ ℝ. Unter den Funktionen f : [a, b] → ℝ, die die Randbedingung f(a) = c, f(b) = d erfüllem sucht man eine, die das Integral I(f) = ∫_{a}^{b} L(f(x), f′(x))dx minimieren. Für Lösungen dieses Variationsproblems gibt der folgende Satz eine notwendige Bedingungung an.

Satz 22. Es sei y : [a, b] → ℝ eine Lösung des obigen Variationsproblems. Es seien L_{y} und L_{z} die beiden partiellen Ableitungen der Funktion L. Dann erfüllt y die Euler-Lagrange-Gleichung

L_{y}(y(x), y′(x)) = \frac{dL_{z}(y(x), y′(x))}{dx}.

Proof. Es sei h : [a, b] → ℝ differenzierbar mit h(a) = h(b) = 0. Dann hat die Funktion ϵ → I(y + ϵh) bei ϵ = 0 ein Minimum und erfüllt daher I′(0) = 0. Daher gilt

I′(0) = ∫_{a}^{b}[L_{y}(y(x), y′(x))h(x) + L_{z}(y(x), y′(x))h′(x)]dx

= ∫_{a}^{b} [L_{y}(y(x), y′(x)) − \frac{dL_{z}(y(x), y′(x))}{dx}] h(x)dx,

wobei man verwendet daß der erste Summand in der partiellen Integration wegen h(a) = h(b) = 0 verschwindet. Weil das Integral für jede solche Funktion h gleich Null ist, muß der Faktor in der eckigen Klammer identisch verschwinden, das heißt die Euler-Lagrange-Gleichung ist erfüllt.

Ein einfaches Beispiel ist das Problem der kürzesten Verbindung. Hier wählt man L(y, z) = \sqrt{1 + z^{2}}. Die Euler-Lagrange-Gleichung ist y′′ = 0. Die Lösung ist natürlich die Gerade.

Ein weiteres Beispiel ist das Problem der schnellsten Verbindung (Brachystochrone) unter dem Einfluß der Schwerkraft: am Punkt (x, y) ist die Geschwindigkeit \sqrt{2gy}, wobei g die Erdbeschleunigung ist. Man setzt L(y, z) = \sqrt{\frac{1+z^{2}}{2gy}}. Die Euler-Lagrange-Gleichung ist 1 + y^{′2} + 2yy′′ = 0. Die Lösungskurve ist eine Zykloide, mit der Parameterdarstellung

x = r cos(t) + rt + d, y = r sin(t) + r.

Variationsprobleme mit einer Nebenbedingung der Art J(f) = ∫_{a}^{b} N(f(x), f′(x))dx = C, wobei N : ℝ^{2} → ℝ^{2} stetig differenzierbar ist und C ∈ ℝ ist, können mit der Methode des Lagrange-Multiplikators behandelt werden. Sie führt auf die Gleichung

L_{y}(y(x), y′(x)) + λN_{y}(y(x), y′(x)) = \frac{dL_{z}(y(x), y′(x))}{dx} + λ\frac{dN_{z}(y(x), y′(x))}{dx},

wobei λ ∈ ℝ so gewählt wird, daß die Nebenbedingung erfüllt ist.