Symbolic Summation and Integration

Winter Semester 2023 
Carsten.Schneider@risc.jku.at

Introduction (October 4, 2023)

<<Sigma.m

f=x^4

Integrate[f,{x,1,a}]

Sum[f,{x,1,a}]

f=x/(x+1)^2/(x+2)

Integrate[f,{x,1,y},Assumptions->Re[y]>-1]//Expand

res=Sum[x/(1+x)^2/(x+2),{x,1,n}]

res//ToSigma//CollectProdSum

GetDefinition[S[2,n]]

mySum=SigmaSum[x/(1+x)^2/(x+2),{x,1,n}]

SigmaReduce[mySum]

f=Log[x]/x

Integrate[f,{x,1,n},Assumptions->Re[n]>0]

f=HarmonicNumber[x]/x

mySum=SigmaSum[f,{x,1,n}]

SigmaReduce[mySum]

mySum=SigmaSum[HarmonicNumber[x]^2/x+HarmonicNumber[x]/x/(x+1)^2,{x,1,n}]//Simplify

SigmaReduce[mySum]

Sum[HarmonicNumber[x]^2/x+HarmonicNumber[x]/x/(x+1)^2,{x,1,n}]

SigmaReduce[mySum,SimplifyByExt->DepthNumberDegree]

Defining summation objects (October 18, 2023)

<<Sigma.m

The product-sum interface

Clear[f]

h=SigmaSum[f[k],{k,1,n}]

NShift[h,n,3]

h//FullForm

h=SigmaProduct[f[k],{k,1,n}]

NShift[h,n,3]

h=SigmaSum[SigmaSum[SigmaSum[SigmaProduct[j,{j,1,k}],{k,1,l}]+SigmaSum[1/k,{k,1,l}],{l,1,m}],{m,1,n}]/(SigmaSum[1/m^2,{m,1,n}]+1)

NShift[h,n,3]//Variables

NShift[(Underoverscript[(∏^(.)), ((Subscript[ι, 1])=1), n])(Subscript[ι, 1]),n]

h/.n->10

h=SigmaSum[1/i,{i,1,n}]SigmaProduct[i,{i,1,n}]

h/.n->10

The object interface

Binomials

f=SigmaBinomial[n,k]

GetDefinition[f,n]

GetDefinition[f,k]

f=SigmaBinomial[2n-k,k]

f/.{n->5,k->1}

prodF=GetDefinition[f,n]

prodF/.{n->5,k->4}

Factorial

f=SigmaFactorial[2k-2]

GetDefinition[f,k]

Pochhammer

f=SigmaPochhammer[a,k]

GetDefinition[f,k]

q-Binomial

f=SigmaqBinomial[q,n,k]

GetDefinition[f,k]

q-Pochhammer

f=SigmaqFactorial[q,q,n]

GetDefinition[f,n]

Harmonic numbers (and generalizations)

f=S[3,2,1,n]

GetFullDefinition[f,n]

f=S[3,2,1,{a,b,c},n]

GetFullDefinition[f,n]

Definition of new objects

DefineObject[qH[q_,o_,k_],var_,SumName[1/(1-q^ii)^o,{ii,1,k}],True]

DefineObjectDepth[qH[__]->1];

qH[q_,o_,k_Integer]:=SumName[1/(1-q^ii)^o,{ii,1,k}]

GetDefinition[qH[q,2,k],k]

Alternating sign

SigmaPower[-1,n]^3

f=1/(1-2SigmaPower[-1,n])

SigmaReduce[f,n]

f=1/(1-2SigmaPower[-1,n]S[1,n])

SigmaReduce[f,n]

Unique representations - finding all relations (November 8, 2023)

f=2(Underoverscript[(∑^(.)), (i=1), n])(1/(i^5))-(((Underoverscript[(∑^(.)), (i=1), n])(1/(i^4)))/(1+n))-(Underoverscript[(∑^(.)), (j=1), n])(((Underoverscript[(∑^(.)), (i=1), j])(1/(i^4)))/j)-(Underoverscript[(∑^(.)), (j=1), n])(((Underoverscript[(∑^(.)), (i=1), j])(1/(i^3)))/(j^2))+(((Underoverscript[(∑^(.)), (j=1), n])(((Underoverscript[(∑^(.)), (i=1), j])(1/(i^3)))/j))/(1+n))-(Underoverscript[(∑^(.)), (j=1), n])(((Underoverscript[(∑^(.)), (i=1), j])(1/i))/(j^4))+(((Underoverscript[(∑^(.)), (j=1), n])(((Underoverscript[(∑^(.)), (i=1), j])(1/i))/(j^3)))/(1+n))+(Underoverscript[(∑^(.)), (k=1), n])(((Underoverscript[(∑^(.)), (j=1), k])(((Underoverscript[(∑^(.)), (i=1), j])(1/(i^3)))/j))/k)+(Underoverscript[(∑^(.)), (k=1), n])(((Underoverscript[(∑^(.)), (j=1), k])(((Underoverscript[(∑^(.)), (i=1), j])(1/i))/(j^3)))/k)-(Underoverscript[(∑^(.)), (k=1), n])((((Underoverscript[(∑^(.)), (i=1), k])(1/(i^3))) ((Underoverscript[(∑^(.)), (i=1), k])(1/i)))/(1+k));

SigmaReduce[f,n]

varL=f//Variables

varLRed=SigmaReduce[varL,n]

MapThread[Equal,{varL,varLRed}]//TableForm

f/.MapThread[Rule,{varL,varLRed}]//CollectProdSum

Checking products (November 15, 2023)

<<Sigma.m

fL={x(x+1)/(x+3)(x^2+1),1/(x+3),(x^2+1)}

f=fL[[1]]fL[[2]]/fL[[3]]

g=SolveDifferenceVectorSpace[{f,-1},{0},{{x,1,1}}][[2,2]]

(g/.x->x+1)/g-f//Together

GetBasisOfHomogeneousGroup[fL,{{x,1,1}}]//Transpose

fL={-((13122 (1+x) (2+x))/(((4+x))^3)),((26244 (((1+x))^2) (((3+x))^2))/(((4+x))^2)),((I (1+x) (((3+x))^3))/(729 (6+x))),-((162 (1+x) (3+x))/(6+x))};

GetBasisOfHomogeneousGroup[fL,{{x,1,1}}]//Transpose

NShift[SigmaBinomial[2x,x],x]

ext={Bin,2(2x+1)/(x+1),0}

CheckPiExtension[ext,{{x,1,1},{Fac,x+1,0}}]

CheckPiExtension[ext,{{x,1,1},{Fac,x+1,0},{Fac2,2x(2x+1),0}}]

GetBasisOfHomogeneousGroup[{x+1,((2 (1+2 x))/(1+x))},{{x,1,1}}]//Transpose

GetBasisOfHomogeneousGroup[{x+1,2x(2x+1)},{{x,1,1}}]//Transpose

fL={x+1,2x(2x+1),((2 (1+2 x))/(1+x))}

B=GetBasisOfHomogeneousGroup[{x+1,2x(2x+1),((2 (1+2 x))/(1+x))},{{x,1,1}}]//Transpose

fL[[1]]^B[[1,1]]fL[[2]]^B[[1,2]]fL[[3]]^B[[1,3]]

Product representations - the static case (November 22, 2023)

Exit[]

<<Sigma.m

prod1=(Underoverscript[(∏^(.)), (k=1), n])(-((13122 k (1+k))/(((3+k))^3)));

prod2=(Underoverscript[(∏^(.)), (k=1), n])(((26244 (k^2) (((2+k))^2))/(((3+k))^2)));

prod3=(Underoverscript[(∏^(.)), (k=1), n])(((I k (((2+k))^3))/(729 (5+k))));

prod4=(Underoverscript[(∏^(.)), (k=1), n])(-((162 k (2+k))/(5+k)));

PL={prod1,prod2,prod3,prod4};

The dynamic case yields (details later):

solLDyn=SigmaReduce[PL//ToSpecialFunction,n]

solLDyn//Variables

Here we consider the static case.

The special case

PLBar={(Underoverscript[(∏^(.)), (k=1), n])(((((5+k))^2)/(((3+k))^2))),(Underoverscript[(∏^(.)), (k=1), n])(-(((((3+k))^7) (5+k))/((k^2) (((1+k))^3) (((2+k))^3)))),(Underoverscript[(∏^(.)), (k=1), n])(-((I (((3+k))^6))/(9 k (((1+k))^2) (2+k) (5+k)))),(Underoverscript[(∏^(.)), (k=1), n])(-((162 k (2+k))/(5+k)))};

For alphaBar and DD we are in the special case

alphaBar=Map[#[[1]]&,PLBar]/.k->x+1//Factor

DD=GetBasisOfHomogeneousGroup[alphaBar,{{x,1,1}}]//Transpose

DD//MatrixForm

tower={{y,-1,0},{x,1,1},{t1,alphaBar[[3]],0},{t2,alphaBar[[4]],0}}

SolveDifferenceVectorSpace[{alphaBar[[1]],-1},{0},{{x,1,1}}]

g1=-(((4+x))^2) (((5+x))^2);

SolveDifferenceVectorSpace[{alphaBar[[2]]^2,-1},{0},{{x,1,1}}]

g2=y(((1+x))^2) (((2+x))^5) (((3+x))^8) (((4+x))^1) (((5+x))^1);

g3=t1;

g4=t2;

gL={g1,g2,g3,g4}

quotientShift=TSigma[gL,tower]/gL/.Sigma`Algebra`CompAlgSigma`II->I//Factor

quotientShift-alphaBar

gLP=gL/.y->SigmaPower[-1,n]/.t1->PLBar[[3]]/.t2->PLBar[[4]]/.x->n

const=PLBar/gLP/.n->2

newPL=gLP*const

PLBar-newPL/.n->10

The general case

PL

alphaL=(NShift[PL,n]/PL)/.n->x

A=GetBasisOfHomogeneousGroup[alphaL,{{x,1,1}}]//Transpose

A//MatrixForm

{P,DD,Q}=SmithDecomposition[A]

Map[MatrixForm,{P,DD,Q}]

Det[Q]

Inverse[Q]//MatrixForm

QInv=Inverse[Q]

alphaBar=Table[Product[alphaL[[j]]^QInv[[i,j]],{j,1,4}],{i,1,4}]//Factor

alphaL-Table[Product[alphaBar[[j]]^Q[[i,j]],{j,1,4}],{i,1,4}]//Factor

alphaBar and DD is just the example from above. We get

tower

gL

such that the shift quotient agrees with alphaBar

quotientShift=TSigma[gL,tower]/gL/.Sigma`Algebra`CompAlgSigma`II->I//Factor

quotientShift-alphaBar

Now we can turn to the original case:

solL=Table[Product[gL[[j]]^Q[[i,j]],{j,1,4}],{i,1,4}]//Factor

quotientShift2=TSigma[solL,tower]/solL/.Sigma`Algebra`CompAlgSigma`II->I//Factor

quotientShift2-alphaL//Together

PL

prodRed1=SigmaProduct[alphaBar[[3]]/.x->k-1,{k,1,n}]

prodRed2=SigmaProduct[alphaBar[[4]]/.x->k-1,{k,1,n}]

prodRedL=solL/.{t1->prodRed1,t2->prodRed2,x->n,y->SigmaPower[-1,n]}

alphaL-NShift[prodRedL,n]/prodRedL/.n->x//Simplify

const=PL/prodRedL/.n->1

prodRedLFinal=prodRedL*const

prodRedLFinal-PL/.n->10

prodRedLFinal//Variables

solLDyn//Variables

Recurrence solving (January 24, 2024)

Exit[]

<<Sigma.m

Rational solutions

Example 1

rec=-n (((1+n))^2) a[n]+3 (1+n) (((2+n))^2) a[1+n]-3 (2+n) (((3+n))^2) a[2+n]+(3+n) (((4+n))^2) a[3+n]==1;

SolveRecurrence[rec,a[n]]

a={-x (((1+x))^2),3 (1+x) (((2+x))^2),-3 (2+x) (((3+x))^2),(3+x) (((4+x))^2)};

SolveDifferenceVectorSpace[a,{1},{{x,1,1}}]

Example 2

a={-1,(1/((-2+2 n-x) (((3+x))^6)))(((-2+n-x))^3) (133+17 n+13 (n^2)-3 (n^3)+(n^4)-2 (-100-7 n-6 (n^2)+(n^3)) x+(115+3 n+3 (n^2)) (x^2)+30 (x^3)+3 (x^4)),-(((((-3+n-x))^3) (((-2+n-x))^3) (29+3 n+3 (n^2)+18 x+3 (x^2)))/((-3+2 n-x) (-2+2 n-x) (((4+x))^6))),(((((-4+n-x))^3) (((-3+n-x))^3) (((-2+n-x))^3))/((-4+2 n-x) (-3+2 n-x) (-2+2 n-x) (((5+x))^6)))};

f={1,-(((-1+2 n-x) (2 n-x) ((1+n) (2853+11371 n+11305 (n^2)-1655 (n^3)-2079 (n^4)+985 (n^5)+451 (n^6)+11 (n^7)-18 (n^8)+8 (n^9))+(-7226-9155 n+30849 (n^2)+44194 (n^3)+2669 (n^4)-9252 (n^5)-945 (n^6)+610 (n^7)+93 (n^8)-61 (n^9)) x+(-10657-56409 n-43173 (n^2)+34342 (n^3)+25314 (n^4)-3333 (n^5)-2593 (n^6)-120 (n^7)+213 (n^8)) (x^2)+(6508-23165 n-67580 (n^2)-16186 (n^3)+15982 (n^4)+3829 (n^5)-426 (n^6)-418 (n^7)) (x^3)+(8440+15476 n-18825 (n^2)-20141 (n^3)-565 (n^4)+1353 (n^5)+470 (n^6)) (x^4)+(1012+10119 n+4317 (n^2)-3503 (n^3)-1341 (n^4)-276 (n^5)) (x^5)+(-763+961 n+1749 (n^2)+363 (n^3)+58 (n^4)) (x^6)+(1+n) (-167+2 n+(n^2)) (x^7)))/((((1+n))^3) (((-1+n-x))^3) (((n-x))^3) (((1+n-x))^3))),(4 n (1+n) (2+n) (-1+2 n) (1+2 n) (-2597824-5047488 n+235392 (n^2)+7432908 (n^3)+6562792 (n^4)+1702279 (n^5)-268860 (n^6)-51276 (n^7)+114157 (n^8)+44399 (n^9)+3982 (n^10)+31 (n^11)+335 (n^12)+89 (n^13))-2 (5195648-11453760 n-207552960 (n^2)-459303960 (n^3)+39155244 (n^4)+1341020490 (n^5)+1916869387 (n^6)+1065109508 (n^7)+33953682 (n^8)-222632229 (n^9)-65139353 (n^10)+22367646 (n^11)+14634811 (n^12)+1623715 (n^13)-301773 (n^14)+33984 (n^15)+51892 (n^16)+8280 (n^17)) x+(-29342208-262709184 n-243932736 (n^2)+1824690528 (n^3)+5081907756 (n^4)+4474397772 (n^5)-417887615 (n^6)-3395540628 (n^7)-2125378896 (n^8)-165271885 (n^9)+315473415 (n^10)+105884142 (n^11)-6092389 (n^12)-6802683 (n^13)+277323 (n^14)+576812 (n^15)+90408 (n^16)) (x^2)+(29334656-189662144 n-1629432928 (n^2)-2962170600 (n^3)+93379858 (n^4)+5760802717 (n^5)+6356447178 (n^6)+1787076126 (n^7)-1281884987 (n^8)-1025568271 (n^9)-145279331 (n^10)+76266391 (n^11)+24638750 (n^12)-2231121 (n^13)-2064894 (n^14)-300560 (n^15)) (x^3)+(61507840+436351792 n+240982056 (n^2)-2596739996 (n^3)-5569539715 (n^4)-3255208218 (n^5)+1882105881 (n^6)+3256329674 (n^7)+1247542710 (n^8)-167095187 (n^9)-234510979 (n^10)-40956090 (n^11)+10260402 (n^12)+5033151 (n^13)+665865 (n^14)) (x^4)+(-20917360+233082000 n+1329505512 (n^2)+1716976621 (n^3)-826667940 (n^4)-3547570143 (n^5)-2672713544 (n^6)-176815722 (n^7)+712970958 (n^8)+332463001 (n^9)+17358744 (n^10)-25974714 (n^11)-8440224 (n^12)-1017801 (n^13)) (x^5)+(-41043904-197408976 n+64056706 (n^2)+1248185100 (n^3)+1838822541 (n^4)+579573981 (n^5)-802610362 (n^6)-790616102 (n^7)-205704376 (n^8)+45065553 (n^9)+38790684 (n^10)+9633748 (n^11)+1080723 (n^12)) (x^6)+(1052016-101759818 n-360215820 (n^2)-286611591 (n^3)+327334731 (n^4)+678556476 (n^5)+374947630 (n^6)+2927740 (n^7)-79309242 (n^8)-35112180 (n^9)-7303051 (n^10)-788217 (n^11)) (x^7)+(9591160+27054534 n-43025232 (n^2)-199542450 (n^3)-213529395 (n^4)-47496243 (n^5)+68159246 (n^6)+57440994 (n^7)+19253829 (n^8)+3535339 (n^9)+384492 (n^10)) (x^8)+(1019600+14587868 n+34151224 (n^2)+18981420 (n^3)-23570085 (n^4)-38646042 (n^5)-21906658 (n^6)-6132186 (n^7)-1010181 (n^8)-119284 (n^9)) (x^9)+(-723760-1082932 n+3219474 (n^2)+9366201 (n^3)+9238032 (n^4)+4308525 (n^5)+983289 (n^6)+136218 (n^7)+21225 (n^8)) (x^10)-2 (48808+283377 n+541194 (n^2)+458781 (n^3)+171900 (n^4)+19206 (n^5)-294 (n^6)+825 (n^7)) (x^11)+(1+n) (10872+16086 n+3678 (n^2)-3797 (n^3)-1546 (n^4)+(n^5)) (x^12))/((((1+n))^3) (((2+n))^3) (((-1+n-x))^3) (((n-x))^3) (((1+n-x))^3) (((2+n-x))^3)),(-8 n (1+n) (2+n) (3+n) (-1+2 n) (1+2 n) (3+2 n) (-5662604060-29942472276 n-63456308163 (n^2)-69879128683 (n^3)-41154518525 (n^4)-9810823354 (n^5)+2292705661 (n^6)+2012896120 (n^7)+404356843 (n^8)+50942743 (n^9)+58347203 (n^10)+33021685 (n^11)+8344157 (n^12)+1215100 (n^13)+236867 (n^14)+73374 (n^15)+13585 (n^16)+987 (n^17))+4 (101926873080+1600148878632 n+5947934863722 (n^2)+2789531229174 (n^3)-32184500973857 (n^4)-95493161967912 (n^5)-130448025661904 (n^6)-94143804931913 (n^7)-21993830826639 (n^8)+22184476951297 (n^9)+23686711751859 (n^10)+9766822299966 (n^11)+1430719878884 (n^12)-199023946482 (n^13)+45666862926 (n^14)+126961148703 (n^15)+55726331265 (n^16)+11997670833 (n^17)+1837737769 (n^18)+517114438 (n^19)+184481043 (n^20)+40439424 (n^21)+4711804 (n^22)+231024 (n^23)) x-2 (806367194964+2344137823788 n-17556168749535 (n^2)-102303558324181 (n^3)-209560422134082 (n^4)-171167753136717 (n^5)+67715345447324 (n^6)+292566889274826 (n^7)+295910373510630 (n^8)+142450876381353 (n^9)+16436445573486 (n^10)-18020724316038 (n^11)-8684198540754 (n^12)+89809808973 (n^13)+1284254539212 (n^14)+441678704514 (n^15)+49141404846 (n^16)-90367965 (n^17)+3409519457 (n^18)+2160867663 (n^19)+530154444 (n^20)+63993800 (n^21)+3204360 (n^22)) (x^2)+(-1295375570500-24075833481852 n-97225193248051 (n^2)-108720933807790 (n^3)+197225804736204 (n^4)+740603845734625 (n^5)+947348593840107 (n^6)+530629022086721 (n^7)-50717792325123 (n^8)-277114165064446 (n^9)-174708660483024 (n^10)-34729457982936 (n^11)+14077327809434 (n^12)+10137580046881 (n^13)+1937845302651 (n^14)-199685620979 (n^15)-107679073207 (n^16)+19567700728 (n^17)+18160647133 (n^18)+4538619448 (n^19)+548377944 (n^20)+27630720 (n^21)) (x^3)+(2975501452020+8641903596466 n-48822827053167 (n^2)-273213366734361 (n^3)-509354800642084 (n^4)-345249807989088 (n^5)+227657473211054 (n^6)+632593958463135 (n^7)+513461190971886 (n^8)+156740722223070 (n^9)-50069074270986 (n^10)-63014055660357 (n^11)-21022900454516 (n^12)-313175388936 (n^13)+1803292128030 (n^14)+406567802213 (n^15)-75086490454 (n^16)-58304812680 (n^17)-13803049859 (n^18)-1631277126 (n^19)-81953988 (n^20)) (x^4)+(1460467400186+22703295016734 n+81863527194960 (n^2)+77555634329911 (n^3)-161501880169479 (n^4)-509278821569505 (n^5)-559855371636792 (n^6)-227464454473053 (n^7)+114133900477257 (n^8)+190002396729906 (n^9)+94827841981443 (n^10)+12340577845809 (n^11)-9189217901133 (n^12)-4901440364217 (n^13)-622541593278 (n^14)+270060826489 (n^15)+142048993953 (n^16)+30753146058 (n^17)+3513619347 (n^18)+175340412 (n^19)) (x^5)+(-1782799249118-3971132266894 n+29586258539315 (n^2)+139234149642521 (n^3)+228702089900418 (n^4)+123590939374735 (n^5)-125175151112303 (n^6)-259050374197078 (n^7)-182174135319265 (n^8)-43650611993764 (n^9)+22234759598580 (n^10)+21245261473227 (n^11)+6481716054682 (n^12)+18629491337 (n^13)-669943558913 (n^14)-256402766382 (n^15)-50550416661 (n^16)-5574362182 (n^17)-276729983 (n^18)) (x^6)+(-719911107640-9039381842504 n-28609931394411 (n^2)-22234408586805 (n^3)+55531409492990 (n^4)+150262447261878 (n^5)+149766092642036 (n^6)+54406013859373 (n^7)-28974339519936 (n^8)-43465426045680 (n^9)-21202328497809 (n^10)-3476543966085 (n^11)+1465450486700 (n^12)+1087269492884 (n^13)+335052950232 (n^14)+60981432189 (n^15)+6532720318 (n^16)+324807870 (n^17)) (x^7)+(479710730810+760676162280 n-7927288640622 (n^2)-32220865686623 (n^3)-48723308328156 (n^4)-25708428987075 (n^5)+20475990368042 (n^6)+43079856889545 (n^7)+30644052929472 (n^8)+9304447154184 (n^9)-1353211290903 (n^10)-2517099658551 (n^11)-1160334349325 (n^12)-310780616709 (n^13)-53307371769 (n^14)-5617440955 (n^15)-283149981 (n^16)) (x^8)+(162769386888+1698882644636 n+4899893601363 (n^2)+3876074849441 (n^3)-7017794525792 (n^4)-19492136275614 (n^5)-19909154456758 (n^6)-9297973789543 (n^7)+379269140237 (n^8)+3268981642818 (n^9)+2188570175616 (n^10)+819913832933 (n^11)+200675023687 (n^12)+33114518392 (n^13)+3491336295 (n^14)+181696297 (n^15)) (x^9)+(-63898737430-94520588022 n+872797625289 (n^2)+3421708626316 (n^3)+5269555830618 (n^4)+3668958270099 (n^5)-51149721280 (n^6)-2345986516055 (n^7)-2208761325336 (n^8)-1137484469247 (n^9)-380557814057 (n^10)-87604165833 (n^11)-14149915076 (n^12)-1526721258 (n^13)-84332712 (n^14)) (x^10)+(-16231668000-150405797598 n-431931949218 (n^2)-475092663990 (n^3)+92702969724 (n^4)+861161726457 (n^5)+1112007458156 (n^6)+791182306533 (n^7)+361056596760 (n^8)+111639167309 (n^9)+24338943798 (n^10)+3895892229 (n^11)+446432652 (n^12)+27455460 (n^13)) (x^11)+(4348405570+10575790434 n-24111636285 (n^2)-132764472638 (n^3)-241777342110 (n^4)-246293834164 (n^5)-157608093815 (n^6)-65990786068 (n^7)-18481395379 (n^8)-3647980902 (n^9)-579491320 (n^10)-77855254 (n^11)-5934565 (n^12)) (x^12)+(573211806+5197018842 n+16520919225 (n^2)+27115435182 (n^3)+26182883581 (n^4)+15484760592 (n^5)+5491061531 (n^6)+1052762356 (n^7)+85557945 (n^8)+10166030 (n^9)+5312344 (n^10)+763878 (n^11)) (x^13)+(-128211924-573541728 n-1044786240 (n^2)-952860937 (n^3)-380152362 (n^4)+53666859 (n^5)+124800626 (n^6)+53706189 (n^7)+9834270 (n^8)+484049 (n^9)-44274 (n^10)) (x^14)-(1+n) (-854940+1738926 n+10486422 (n^2)+15832975 (n^3)+11639081 (n^4)+4627984 (n^5)+958108 (n^6)+81203 (n^7)+(n^8)) (x^15))/((((1+n))^3) (((2+n))^3) (((3+n))^3) (((-1+n-x))^3) (((n-x))^3) (((1+n-x))^3) (((2+n-x))^3) (((3+n-x))^3)),(16 n (1+n) (2+n) (3+n) (4+n) (-1+2 n) (1+2 n) (3+2 n) (5+2 n) (92468512172032+410051304439808 n+788470814131328 (n^2)+849460644363584 (n^3)+546580679043568 (n^4)+199859851863232 (n^5)+29324655170876 (n^6)-3444064401344 (n^7)+489075443722 (n^8)+1992005680143 (n^9)+955443222379 (n^10)+324744050661 (n^11)+131962353774 (n^12)+52287823307 (n^13)+15169121104 (n^14)+3242248661 (n^15)+631215296 (n^16)+135257560 (n^17)+26689473 (n^18)+3714962 (n^19)+303904 (n^20)+10946 (n^21))-16 (-16644332190965760-140137451655579648 n-270991848204691968 (n^2)+797850826677165440 (n^3)+4993202764699117952 (n^4)+11415615081644603568 (n^5)+14625383112084070608 (n^6)+10281733289211817724 (n^7)+1306534507789748520 (n^8)-5268544655267192446 (n^9)-6192774542091184753 (n^10)-3746608603174958319 (n^11)-1327781200876745070 (n^12)-199674886765906375 (n^13)+54759511039413687 (n^14)+44073909692136647 (n^15)+17593428035223497 (n^16)+7323950948156388 (n^17)+3310342649721215 (n^18)+1262795888557206 (n^19)+372208587733002 (n^20)+90141403284896 (n^21)+20787854546251 (n^22)+4969087354554 (n^23)+1109585266603 (n^24)+199153472501 (n^25)+26107017912 (n^26)+2320284136 (n^27)+124981808 (n^28)+3087504 (n^29)) x+4 (-27797140909744128+561069567109355520 n+5359585982742454272 (n^2)+17790567539173852544 (n^3)+26733276597645583296 (n^4)+6392926835493477648 (n^5)-47733331837134786880 (n^6)-96426722794351367628 (n^7)-97903519604842498104 (n^8)-57785861150415527098 (n^9)-15216282510306710019 (n^10)+4880905892648226423 (n^11)+6447389732244241595 (n^12)+2796889869036609486 (n^13)+608721233857345923 (n^14)+86740536379928438 (n^15)+59322043888508817 (n^16)+46378181749327122 (n^17)+20125184767917810 (n^18)+5637694301846703 (n^19)+1273870570352532 (n^20)+334126468563178 (n^21)+105404178450354 (n^22)+28849981796400 (n^23)+5781151532132 (n^24)+804813813600 (n^25)+74256956880 (n^26)+4111526528 (n^27)+103976064 (n^28)) (x^2)-4 (177981246463993856+1534006693356786176 n+3334658521473727360 (n^2)-5238695121431058304 (n^3)-39136885058367379248 (n^4)-84913520249382098992 (n^5)-95061606526177316292 (n^6)-45846410594615702140 (n^7)+22879425471937381042 (n^8)+55614100814124822433 (n^9)+43796350578534602246 (n^10)+17937092384646696363 (n^11)+2359066509573164851 (n^12)-1302437703229881252 (n^13)-576097449592680150 (n^14)+90795044055448123 (n^15)+150010470763235620 (n^16)+58508476959949344 (n^17)+12086304455899014 (n^18)+1979792531892260 (n^19)+789604772361143 (n^20)+395009720269759 (n^21)+129959293281686 (n^22)+27975307797966 (n^23)+4029815247720 (n^24)+379962229496 (n^25)+21419576320 (n^26)+551261440 (n^27)) (x^3)+(160978992601120768-3365739616153872896 n-29696485499773519104 (n^2)-90832269352429701696 (n^3)-120277233006040605760 (n^4)-1505813424590267328 (n^5)+243186328915032228784 (n^6)+403737694174429567636 (n^7)+332702278419560253864 (n^8)+127029045169436429266 (n^9)-24474439542733969401 (n^10)-57115670776498739157 (n^11)-29520465146691431295 (n^12)-4567120216194813306 (n^13)+2727872733116393895 (n^14)+1856328924097978244 (n^15)+460209762472135293 (n^16)+22451321751097644 (n^17)-8381702627739356 (n^18)+5165236930126517 (n^19)+4925596290928974 (n^20)+1799065899584164 (n^21)+397632686925210 (n^22)+57909524901216 (n^23)+5510210014576 (n^24)+314026462336 (n^25)+8191849152 (n^26)) (x^4)+(696330823635410432+5412880646764210944 n+9876911769276045504 (n^2)-22350820158925637504 (n^3)-127810304418131962656 (n^4)-243609812223977825616 (n^5)-228614095728968525260 (n^6)-55458534345811021104 (n^7)+124035115810151530338 (n^8)+168833071151854619883 (n^9)+99910605243602887707 (n^10)+21882599576507559492 (n^11)-10729205934540113076 (n^12)-10492783231384149264 (n^13)-3571510292983151799 (n^14)-269673751284866985 (n^15)+223984278105215481 (n^16)+69401152461580722 (n^17)-10756745842192772 (n^18)-13627159533594471 (n^19)-4947208463389395 (n^20)-1079353236966201 (n^21)-156160472500008 (n^22)-14863991426280 (n^23)-852500367520 (n^24)-22492457952 (n^25)) (x^5)+(-56261989928055296+2384964337982398464 n+17845803477212439104 (n^2)+49022550085917438480 (n^3)+55597771418422834352 (n^4)-15985551304049312276 (n^5)-135143329867814132088 (n^6)-191321001174336606886 (n^7)-133030557380205660046 (n^8)-29085630187589479944 (n^9)+31886777758931718042 (n^10)+34620376179902247671 (n^11)+15334666117111481455 (n^12)+2193316606905832087 (n^13)-1220311081470410512 (n^14)-770441764547590701 (n^15)-141718495535558387 (n^16)+37703762694206505 (n^17)+32338784078567152 (n^18)+10796393110284672 (n^19)+2268416507746788 (n^20)+322643218100616 (n^21)+30574482449628 (n^22)+1761391765248 (n^23)+46991283360 (n^24)) (x^6)+(-318717221884160640-2242185884098916480 n-3438529596474461424 (n^2)+10383208063876942928 (n^3)+49786768249560969020 (n^4)+86973206929622107800 (n^5)+73409400007932300554 (n^6)+8877839605947279142 (n^7)-49362502439645023944 (n^8)-58607439334327922583 (n^9)-32542054179660730997 (n^10)-6659169373178232402 (n^11)+3528456872316367687 (n^12)+3358244219891700706 (n^13)+1170110929715495070 (n^14)+86453284705232815 (n^15)-109109973803276835 (n^16)-61348382399077995 (n^17)-18405166757951781 (n^18)-3691557889198545 (n^19)-514393542330486 (n^20)-48489980121690 (n^21)-2808205688784 (n^22)-75889673520 (n^23)) (x^7)+(7928052404493440-801287513605073184 n-5421690400913648928 (n^2)-14041921115885147096 (n^3)-15186280523883806964 (n^4)+4263935771643712128 (n^5)+34522300202395223591 (n^6)+47766180036887107530 (n^7)+33196436251554986604 (n^8)+8372253657365750849 (n^9)-6303320970644678016 (n^10)-7685433394226494638 (n^11)-3784307359309462462 (n^12)-813884114272662231 (n^13)+167222800365945378 (n^14)+206661615101482395 (n^15)+88157282015244714 (n^16)+24050402098283898 (n^17)+4619995248033123 (n^18)+632205495568977 (n^19)+59452176629646 (n^20)+3473255943900 (n^21)+95453789874 (n^22)) (x^8)+(77810944529362624+523113366154029776 n+822718525001664856 (n^2)-1950812890997474644 (n^3)-9788276884124063192 (n^4)-17274948245569521385 (n^5)-15427920616538889662 (n^6)-4152785050887039044 (n^7)+6657774141215915579 (n^8)+9510389226607916698 (n^9)+6125804691453235199 (n^10)+2012341166511355525 (n^11)-46014485600316846 (n^12)-430230661272714543 (n^13)-258182440800242067 (n^14)-93205572204311310 (n^15)-23678775076963790 (n^16)-4399864164180695 (n^17)-595158894633602 (n^18)-56168854150265 (n^19)-3330728501723 (n^20)-93674278449 (n^21)) (x^9)+(-2023662949190848+128784201970829360 n+876407083291375920 (n^2)+2322780776895730480 (n^3)+2849208523628798572 (n^4)+503918199843047421 (n^5)-3665395894481371352 (n^6)-6095233125292635377 (n^7)-5051340250559881680 (n^8)-2252123565811035442 (n^9)-130150963551902671 (n^10)+575290886805153732 (n^11)+468351173014000947 (n^12)+218507108113303866 (n^13)+71420171919799317 (n^14)+17292849113623801 (n^15)+3145749899484401 (n^16)+424424770196865 (n^17)+40551746038018 (n^18)+2463030108398 (n^19)+71526151968 (n^20)) (x^10)+(-10537378223003456-73209953068592592 n-148752418792155576 (n^2)+79189625631305660 (n^3)+888348146454462300 (n^4)+1832111043420338943 (n^5)+2000186270280571721 (n^6)+1172838240436021203 (n^7)+91201462125986025 (n^8)-496978820469946499 (n^9)-517519202544556239 (n^10)-306647691860000922 (n^11)-127020731263639062 (n^12)-39138392338689513 (n^13)-9195486452696061 (n^14)-1656173023886864 (n^15)-225226252223031 (n^16)-22045676626473 (n^17)-1389403069565 (n^18)-42188196831 (n^19)) (x^11)+(651461487609152-8285636409032784 n-70402874337684584 (n^2)-211811435726023516 (n^3)-329659123508040696 (n^4)-255435197815157663 (n^5)+9122583942545659 (n^6)+259313742514061694 (n^7)+330191660407961910 (n^8)+247491856464280314 (n^9)+129761995401321046 (n^10)+50470556134967975 (n^11)+14985619480222039 (n^12)+3452664245534175 (n^13)+621116213223944 (n^14)+86206501749013 (n^15)+8797213523243 (n^16)+586875444696 (n^17)+18978853967 (n^18)) (x^12)+(749332175062464+5827376906101328 n+16376735901154344 (n^2)+17158404511552884 (n^3)-14172094419108832 (n^4)-70191733818695163 (n^5)-110197085790174381 (n^6)-106495377168138036 (n^7)-71822775921918978 (n^8)-35543296648409381 (n^9)-13263023048381921 (n^10)-3807680588186853 (n^11)-858143328196197 (n^12)-154716615234839 (n^13)-22327990240626 (n^14)-2454826874317 (n^15)-179747602977 (n^16)-6378112839 (n^17)) (x^13)+(-88372794494144-87359240335920 n+1711085457607560 (n^2)+7643816970492388 (n^3)+16216010404360596 (n^4)+21438330021866079 (n^5)+19396917002950947 (n^6)+12553695997329543 (n^7)+5948219601070797 (n^8)+2093813691478814 (n^9)+557527911389304 (n^10)+116815093067559 (n^11)+20704360781141 (n^12)+3272177463897 (n^13)+427728188571 (n^14)+37566138600 (n^15)+1547974764 (n^16)) (x^14)+(-20696992808000-198225582011376 n-751309797041112 (n^2)-1582416519859548 (n^3)-2111422924840832 (n^4)-1895659876740923 (n^5)-1171434657708819 (n^6)-493856631114487 (n^7)-134289027390559 (n^8)-19351281463032 (n^9)+20819929554 (n^10)+362151740106 (n^11)-31391160331 (n^12)-28897502197 (n^13)-4642631725 (n^14)-256031343 (n^15)) (x^15)+(4088796233280+24235347356208 n+61768731576072 (n^2)+87627710678308 (n^3)+72861033995156 (n^4)+30613571816739 (n^5)-2670050643658 (n^6)-12002225449670 (n^7)-7897010872236 (n^8)-2891256465309 (n^9)-650019607899 (n^10)-84921034212 (n^11)-4694144206 (n^12)+170599264 (n^13)+25808211 (n^14)) (x^16)+(-132439340160-430443040224 n-191398532544 (n^2)+1261362550960 (n^3)+3050220085248 (n^4)+3580695020952 (n^5)+2634657576359 (n^6)+1303977280374 (n^7)+441758129259 (n^8)+100866670374 (n^9)+14692734225 (n^10)+1187488026 (n^11)+31311629 (n^12)-1195758 (n^13)) (x^17)+(1+n) (-5978739840-31643224128 n-72916207416 (n^2)-96752878492 (n^3)-82105035644 (n^4)-46658685904 (n^5)-18012575307 (n^6)-4671162891 (n^7)-779751330 (n^8)-75745850 (n^9)-3255055 (n^10)+(n^11)) (x^18))/((((1+n))^3) (((2+n))^3) (((3+n))^3) (((4+n))^3) (((-1+n-x))^3) (((n-x))^3) (((1+n-x))^3) (((2+n-x))^3) (((3+n-x))^3) (((4+n-x))^3))};

SolveDifferenceVectorSpace[a,f,{{x,1,1}}]

PiSigma-Solutions

tower={{x,1,1},{b,((n-x)/(1+x)),0},{h,1,(1/(1+x))}};

a={-1,((5 (3+2 x+h (2+3 x+(x^2))))/((2+x) (1+h+h x))),-((6 (11+12 x+3 (x^2)+h (6+11 x+6 (x^2)+(x^3))))/((2+x) (3+x) (1+h+h x)))};

f={((b (n-x))/(1+x)),((b (1+n))/(1+x)),((b (1+n) (2+n))/((1+n-x) (1+x))),((b (1+n) (2+n) (3+n))/((1+n-x) (2+n-x) (1+x))),((b (1+n) (2+n) (3+n) (4+n))/((1+n-x) (2+n-x) (3+n-x) (1+x)))};

SolveDifferenceVectorSpace[a,f,tower]

rec=a.Table[F[k+i],{i,0,Length[a]-1}]==f/.{x->k,h->S[1,k],b->SigmaBinomial[n,k]}

SolveRecurrence[rec,F[k],Extension->None]

The full machinery (January 31, 2024)

Exit[]

<<Sigma.m

Recurrence solving

Hypergeometric solution

Example 1

rec=2 n (1+n) F[n]+(2-3 n-(n^2)) F[1+n]+(-1+n) F[2+n]==0;

SolveRecurrence[rec,F[n]]

aL={2x(1+x),2-3x-x^2,-1+x};

SigmaHyper[aL,{{x,1,1}}]

Example 2

aL={(((1+h+h x))^2) (((3+2 h+2 x+3 h x+h (x^2)))^2),-h (1+x) (3+2 x) (((3+2 h+2 x+3 h x+h (x^2)))^2),h (((1+x))^2) (((2+x))^3) (1+h+h x)};

tower={{x,1,1},{h,1,(1/(1+x))}};

alphaL=SigmaHyper[aL,tower]

towerExt=Join[tower,{{P1,alphaL[[1]],0},{P2,alphaL[[2]],0}}]

TSigma[P1,-3,towerExt]

aL[[1]] P1+aL[[2]]TSigma[P1,towerExt]+aL[[3]]TSigma[P1,2,towerExt]//Together

aL[[1]] P2+aL[[2]]TSigma[P2,towerExt]+aL[[3]]TSigma[P2,2,towerExt]//Together

rec=(aL/.{x->n,h->S[1,n]}).{f[n],f[n+1],f[n+2]}==0

SolveRecurrence[rec,f[n]]

Example 3

rec=F[2+n] (-2-4 n-(n^2)-n(Subscript[!, .])-2 n n(Subscript[!, .]))-2 (((1+n))^2) (2+n) F[n] (((n(Subscript[!, .])))^2) (7+6 n+(n^2)+3 n(Subscript[!, .])+5 n n(Subscript[!, .])+2 (n^2) n(Subscript[!, .]))+(1+n) (2+n) F[1+n] n(Subscript[!, .]) (16+16 n+3 (n^2)+7 n(Subscript[!, .])+12 n n(Subscript[!, .])+4 (n^2) n(Subscript[!, .]))==0;

SolveRecurrence[rec,F[n]]

d’Alembertian solutions

Example 1

rec=-4 (1+n) SUM[n]+2 (3+2 n) SUM[1+n]+(-2-n) SUM[2+n]==-1;

SolveRecurrence[rec,SUM[n],IndefiniteSummation->True]

Example 2

rec=-n (1+n) (Subscript[H, n]) (1+(1+n) (Subscript[H, n])) SUM[n]+n (1+n) (1+2 (Subscript[H, n])) (1+(1+n) (Subscript[H, n])) SUM[1+n]-n (1+n) (Subscript[H, n]) (2+n+(1+n) (Subscript[H, n])) SUM[2+n]==(Subscript[H, n]) (1+(1+n) (Subscript[H, n]));

SolveRecurrence[rec,SUM[n]]

Example 3

rec=-(2419791630618001724349719825822515200 (n^3)+46893058834334803550048105380734566400 (n^4)+442193057465681392730605627834886258688 (n^5)+2705163824287918413734939189834632593408 (n^6)+12077169282974589920658629516473115295744 (n^7)+41966837290479779427524408810546219827200 (n^8)+118219101947163710354472195018903784452096 (n^9)+277636548018756319924282582437965801250816 (n^10)+554818694316590989606680673486591181169664 (n^11)+958215852325427069871263145576988323096576 (n^12)+1447807538463763344480353057138198170764544 (n^13)+1932634574589957327485740054131528807341312 (n^14)+2297546075527773923214701010279556037859200 (n^15)+2448775269439910075996659926897517474168064 (n^16)+2353082458409861559967790811417795090328800 (n^17)+2048299114135230176735374555025680366259616 (n^18)+1621741955236083712069918941593026341937328 (n^19)+1171973077100571998520049114011408940864324 (n^20)+775366789376058136594755591722578221832754 (n^21)+470845228207878464545078102494550968145626 (n^22)+263029261282480708488833600406560031424266 (n^23)+135432625185170494152646639679878430576366 (n^24)+64380525008058346133125819015855307039890 (n^25)+28294941869896718238659823138529447643409 (n^26)+11510639826509868241332665511273019883245 (n^27)+4338601127644953578265748144467101651566 (n^28)+1516347765344935407227461978628652931140 (n^29)+491707203871221783491014552667264654348 (n^30)+147998315309037544218073839785461595524 (n^31)+41357982388489608344142528638546419812 (n^32)+10731279186864834895938990612954501362 (n^33)+2585221832059644562908138564950975983 (n^34)+578081901021769208062617955849607255 (n^35)+119933836608195636314895593780004412 (n^36)+23072349655406047775407594541682536 (n^37)+4112383801613288221238341717431870 (n^38)+678441475758950513418671792499790 (n^39)+103470631338396383215642368754950 (n^40)+14567035475277568652763736374038 (n^41)+1889820701704575278082350304095 (n^42)+225464981620744825055854151899 (n^43)+24677977218000736361042595318 (n^44)+2471158501904322420447817484 (n^45)+225650752266000765364410056 (n^46)+18718039227261648047794832 (n^47)+1404175763444631451277224 (n^48)+94757256722843508771238 (n^49)+5715830429727778230433 (n^50)+305843846362020680945 (n^51)+14381720253879875868 (n^52)+587432077055797654 (n^53)+20535798664117844 (n^54)+602646805448372 (n^55)+14460796607552 (n^56)+273265680480 (n^57)+3838554144 (n^58)+36289696 (n^59)+187328 (n^60)+256 (n^61)) f[n]+(2184637011646089260832263446242263040+60213944484149858917493971997278863360 n+765667472926191423796966419188114522112 (n^2)+6105365080510451396982635521026428239872 (n^3)+34708860405036002296270093362827805720576 (n^4)+151012015780667833836461483157418876403712 (n^5)+525927125380365588824032094032506978336768 (n^6)+1512196534433079466364883142044247431979008 (n^7)+3671470718711877962933422750534015631462400 (n^8)+7656732454200652158809870797561463793930240 (n^9)+13900418857159591484188788012697295475566592 (n^10)+22205000857672892951155779495290643697085440 (n^11)+31486034126294839958942742570718414414535680 (n^12)+39919692863067272123801901519465590396631552 (n^13)+45531432069748835165613722710992028682930304 (n^14)+46961436588813572025777511789038901263777888 (n^15)+43994959907297109868687362235336122063739280 (n^16)+37579715685313851159102021797411799861122656 (n^17)+29364773248686683915239812679461616136356200 (n^18)+21050691034785332915492476057834318260647992 (n^19)+13878863958177278906363320901764654180674068 (n^20)+8433920328583831248209974031887597144856166 (n^21)+4732703540813596136660683547266937537829654 (n^22)+2456402281573059079053298938442251846697230 (n^23)+1180884360800419306100550729721645208294214 (n^24)+526441908393454455371612300421050477868182 (n^25)+217853112783218022232146626128806211983463 (n^26)+83754020847842024722911201861265143892515 (n^27)+29933835570003312829692764177995129463678 (n^28)+9950649553145001634744062228609687611636 (n^29)+3077685237402338181588673390623771087768 (n^30)+885864683981666005570651087823908853468 (n^31)+237303300491689480050502026965768922040 (n^32)+59155090124648479353044037293149067126 (n^33)+13719117466936551766792191652359249405 (n^34)+2958917780333050813266891451512650209 (n^35)+593157044864289496291653275756884512 (n^36)+110438535500745724875815791275373824 (n^37)+19080579219381871689558731310265194 (n^38)+3055650762530616827066946087618154 (n^39)+452987258893586741202300418715142 (n^40)+62067608935535379147520211092898 (n^41)+7846086266834729051216715205681 (n^42)+913130773095847812486509019205 (n^43)+97597613016813524555747415182 (n^44)+9552877857235409775526229148 (n^45)+853450995298842653501332876 (n^46)+69325405419294490888090944 (n^47)+5096893257290771080869644 (n^48)+337358454813758704464466 (n^49)+19974662258188401941987 (n^50)+1049859496149284305279 (n^51)+48525482667944885632 (n^52)+1949521858753528714 (n^53)+67075940936545308 (n^54)+1938510016023020 (n^55)+45836200086880 (n^56)+854037611552 (n^57)+11836382688 (n^58)+110495776 (n^59)+564032 (n^60)+768 (n^61)) f[1+n]-(-22022314605592690531751005935108096000-289135277001687902353264231969613414400 n-1488037313005848582765208942457703628800 (n^2)-1818726834376404926186570730184369766400 (n^3)+23382204546977767384985015673369488916480 (n^4)+188082685608246892321802873635659960877056 (n^5)+825801477256291595460486042061384946712576 (n^6)+2628541026330989080112440997321895434330112 (n^7)+6629655427580241497225184251016863653908480 (n^8)+13848216502549635881680294337223876185911296 (n^9)+24611563389512504073584247446699535922575360 (n^10)+37909511298937488708854223877932503102176256 (n^11)+51299918554927297426860529427157650519514112 (n^12)+61629468272462855574906800764536339189128192 (n^13)+66280124475672744973400889288785644773739136 (n^14)+64247409978580992116427545385119399679833312 (n^15)+56449472002389683597707337063406362546728272 (n^16)+45171322891361752871580719683909268264681440 (n^17)+33053824818470328765890536318636510140913496 (n^18)+22194286968981437345392564520988385907626416 (n^19)+13715606341403352934357761159783608231286212 (n^20)+7820919263011960290532633923574013757937322 (n^21)+4124101824382320133598766513489500768514642 (n^22)+2014900658274015221853754922074596765809754 (n^23)+913552367745160482379609090421491101869914 (n^24)+384912898173545720900056698586842503122918 (n^25)+150881012199256958147419290021749103219985 (n^26)+55074624810472925390185481773716375577417 (n^27)+18733933409151309041626750964983474454358 (n^28)+5941570334258463328802562879066834157404 (n^29)+1757621107214989234449316717174814410560 (n^30)+485046390298804579275932040902973332692 (n^31)+124877689424959601610199276249591868356 (n^32)+29989412247749884342281895499180335754 (n^33)+6715821939958386382569103248806082447 (n^34)+1401758065674213210274260438674133863 (n^35)+272527587406079568538323090035115684 (n^36)+49312358430897053286589310725757704 (n^37)+8296078956189808509997550437883390 (n^38)+1296103778071525102182189470635774 (n^39)+187776581998229163368113485479490 (n^40)+25186081309681650194834084101162 (n^41)+3121520966967059012579790235663 (n^42)+356696551136881314117558024007 (n^43)+37484536898709537869638087550 (n^44)+3612012600567270037248636788 (n^45)+318063209276420217186951276 (n^46)+25493505002286210193173232 (n^47)+1851374597173806436884944 (n^48)+121157534952438954351366 (n^49)+7099015219827843837177 (n^50)+369549841897016581817 (n^51)+16930667101318371492 (n^52)+674702033398352670 (n^53)+23042430467695396 (n^54)+661436747087492 (n^55)+15543736473056 (n^56)+288011538912 (n^57)+3971907936 (n^58)+36920096 (n^59)+187840 (n^60)+256 (n^61)) f[2+n]-(27276878942915969107316087331005399040+705128506368571028133010447867324661760 n+8795984422030468128177510606635859443712 (n^2)+69923155581931005683616191106190820769792 (n^3)+397777067188645895439894469915116729532416 (n^4)+1729204532204996997152583407397237453225984 (n^5)+5995525164632894191922695828861346535505920 (n^6)+17088735819395764913747809298043883399888896 (n^7)+40950242468668902568149188809126378671144960 (n^8)+83944922396996847271825479812337521047842816 (n^9)+149241076173129905329165504863175575091332096 (n^10)+232683501679364482345805030869544077599268352 (n^11)+321069920926096778719573512107074163678806528 (n^12)+395099424821926843732271053703633605285841664 (n^13)+436399473903028869076842967038797890370004032 (n^14)+435026967213159405048515684405715110378338720 (n^15)+393230111147319510033909063747616966700500160 (n^16)+323623592515063057301937486575186179314548656 (n^17)+243346679569443698265032683268250796082355872 (n^18)+167699480512372076874814970574805341647426008 (n^19)+106198031145430172090232700406650650176362252 (n^20)+61942356363090378267431321236277379702842498 (n^21)+33344350577247386451113806267465360943413242 (n^22)+16595113813714428964861691068549243862900514 (n^23)+7647457411737976747992069047332333397916774 (n^24)+3267331144899381542768858934068187529943662 (n^25)+1295632087778176811117167430324892967262289 (n^26)+477281953036655577658172066157254622874249 (n^27)+163451731801877305191319996120051969522930 (n^28)+52067844190687573163358660941762172198124 (n^29)+15434420976233983819168350126595595202140 (n^30)+4258528038477820285037384293734708124148 (n^31)+1093751039753805052074448772782500867240 (n^32)+261482348137970277384591678834281844450 (n^33)+58175398225026023823129376451604957051 (n^34)+12040624671354180854266520205844399991 (n^35)+2317073223658459084340945199597363112 (n^36)+414290751988803620905542484937609472 (n^37)+68763751517799771571460168482707342 (n^38)+10583544268756001126111015357786438 (n^39)+1508533267822499512906498412337430 (n^40)+198821183372782469752192989049026 (n^41)+24186388725302176057341026698695 (n^42)+2709982082198798782794681162855 (n^43)+278988479854541096081379081954 (n^44)+26314522078796930198189306612 (n^45)+2266504237219506659730716168 (n^46)+177578797780695304231916832 (n^47)+12598833333382387109147196 (n^48)+805098410198134438811902 (n^49)+46044417764504993310349 (n^50)+2338717637745860215073 (n^51)+104514427357536583000 (n^52)+4061699225871964542 (n^53)+135250177600636980 (n^54)+3784921061092388 (n^55)+86707444117568 (n^56)+1566227411552 (n^57)+21060262112 (n^58)+190971744 (n^59)+949440 (n^60)+1280 (n^61)) f[3+n]+(-167707728739563162662793640641822720000-1884621099579099264283288794700972032000 n-5041377848806910695366548334073767526400 (n^2)+46775477320896085249578292645052798730240 (n^3)+556885835525484915713810095094705435443200 (n^4)+3159242452468551228562153543444819393904640 (n^5)+12415541071618540660307393273559673826377728 (n^6)+37637925296940019781324185478731922295963648 (n^7)+92737714460401157604501008974332095412830208 (n^8)+191667000496318490779014701563244967355920384 (n^9)+339452263097369421820859975846282755107529728 (n^10)+523248300281830339242284804346885285914676736 (n^11)+710386898168009760958599932526536214775457280 (n^12)+857462533335657188694551242676693238363818752 (n^13)+927185892315490057264223661958052089087716416 (n^14)+903794264491665943887994150618261070781888544 (n^15)+798358468088992068216784561678832305544914688 (n^16)+641910993104210400936977369822714460830564208 (n^17)+471562530047346319754202040007262652757218624 (n^18)+317538797128843618565893715748339861357902640 (n^19)+196542800425272936030894969376573161178781716 (n^20)+112089205036988299699706179845387148374717002 (n^21)+59022381396427738240092380898572083968461562 (n^22)+28746865359106416256416247321136578512534282 (n^23)+12970254953319120480983509703101810054182782 (n^24)+5428183614772190906005960866663410280479562 (n^25)+2109510758277426773606416875119872314811877 (n^26)+761938745869645201813190530563834432295465 (n^27)+255965695136511737849398726940189624590934 (n^28)+80021356179793507587079440531706016662668 (n^29)+23289571211370481847378953662633197929068 (n^30)+6311748066033135567176717489354950656844 (n^31)+1592960015056501397895148828890424971668 (n^32)+374365028306562451548967569889349299994 (n^33)+81907187008712905581886627733322657947 (n^34)+16676994045570734948021794434982584627 (n^35)+3158233696398401126430392498360079036 (n^36)+555889720171821324468177471226088216 (n^37)+90857083052539834834050188828261198 (n^38)+13774542091612157361488698113634638 (n^39)+1934519485240215372599275594201750 (n^40)+251288787124077923597876350839934 (n^41)+30136222767569363668692805964139 (n^42)+3329676213071448715046083817455 (n^43)+338100507320636683862629994494 (n^44)+31461631160467405736547997940 (n^45)+2674035177086832347621329096 (n^46)+206786377638960225950374136 (n^47)+14483513059358524937574360 (n^48)+913893080887697869410574 (n^49)+51619555838689353242549 (n^50)+2589956035399262629893 (n^51)+114354608201432199836 (n^52)+4391706562159684062 (n^53)+144543224194970180 (n^54)+3998894202305188 (n^55)+90585200571648 (n^56)+1618378146784 (n^57)+21530125088 (n^58)+193247264 (n^59)+952000 (n^60)+1280 (n^61)) f[4+n]+(146973883013564258890458767567093760000+2229259984516059314164243577955680256000 n+16595245522055651232438964274595574579200 (n^2)+82110213857892331021373929579308684410880 (n^3)+310740084394832008017420625315940985077760 (n^4)+983450262875422499074965195835230498914304 (n^5)+2752795738160705474897634293607251897352192 (n^6)+6979426901876915027726954745414540323635200 (n^7)+16022042987367137971152393882056321496649728 (n^8)+32976239563629576537093753171267079363952640 (n^9)+60348223112048685326140378332733677958551552 (n^10)+97870234277454774181867539360398981127882752 (n^11)+140769737681664961820732259956248222002156544 (n^12)+180159949407962743950515756408355287251632128 (n^13)+206063708436712977188583276398745589001139968 (n^14)+211629972252724984409247015325612755050864384 (n^15)+196052177074481560658330639762342332344444048 (n^16)+164525447978078562567838918443591164707502416 (n^17)+125556179875444843058702170521611753698519256 (n^18)+87435155865587777892765113376420118121960328 (n^19)+55732185112640160274945213210191691809530492 (n^20)+32603848226154254694224926180497667742692898 (n^21)+17546915408521547104784732751147391512437658 (n^22)+8705564957790628615250340784589164051237410 (n^23)+3988719282955627082164451161346964412614922 (n^24)+1690355246982168411514553093925250510197586 (n^25)+663435741557456861450332956793381788403741 (n^26)+241419754068235849516846929157324919604649 (n^27)+81525053083740624437032057330999824995610 (n^28)+25566108133626930799108150870844970750372 (n^29)+7449510928708389104237268058331083573272 (n^30)+2017628218981886286590169884480431538092 (n^31)+508034801230647487942634941743803660008 (n^32)+118932982740371640583748836229570720114 (n^33)+25882966091402668443156859423413630159 (n^34)+5234831252327150258495816833335987083 (n^35)+983485163689520917457934207647204592 (n^36)+171526535385991276074256199958715648 (n^37)+27748080934509521703257731932900950 (n^38)+4159340594584083287370449291142406 (n^39)+576981874549508051423551767867114 (n^40)+73960066614630153761116279570486 (n^41)+8745090271861061856731036132491 (n^42)+951844347105863253364908309823 (n^43)+95138142685999346905079417738 (n^44)+8707815519389802473929517372 (n^45)+727452758910755330250630756 (n^46)+55255418993869721987243656 (n^47)+3798932121017318727211124 (n^48)+235152612408584314355478 (n^49)+13022051437733827813521 (n^50)+640211109261103389509 (n^51)+27683156067422637168 (n^52)+1040643976182868542 (n^53)+33508905375528340 (n^54)+906557733231620 (n^55)+20073465051104 (n^56)+350427896160 (n^57)+4554253344 (n^58)+39936608 (n^59)+192448 (n^60)+256 (n^61)) f[5+n]-(-229133653589293103588089989773131776000-2707218686086927844219339121202456166400 n-8435158839130133492119907321120544522240 (n^2)+57312106282972020092113166164705144995840 (n^3)+761311556185420846905694442317899022860288 (n^4)+4470070472792421402760998791768772851073024 (n^5)+17933275241733080753971051500884064151535616 (n^6)+55163890293619386176182666327824835758047232 (n^7)+137396641381867437272033940971117581338464256 (n^8)+286236922551698791964818718459230151232184320 (n^9)+509799264887681665018259066709529133495617536 (n^10)+788651555674921555121999082128867307071072256 (n^11)+1072588143491400565323822921025679581406329856 (n^12)+1294744188580567907082105180269849560142171648 (n^13)+1397941057071523729674966499885688914786767104 (n^14)+1358660215905239775278697600361668905916384384 (n^15)+1194983627524612608767092393372811905774530512 (n^16)+955428594075553278209673752244502528652871632 (n^17)+697089659895187705783120568296945401635556904 (n^18)+465656730189159752034253308339764890945988496 (n^19)+285604431687495229880881251511616073109650220 (n^20)+161232532865686268214919319101899922033636862 (n^21)+83955845991827386122821327404717592026870110 (n^22)+40397529485287635174511174996855520331201558 (n^23)+17990657209554183341396289732046387408087174 (n^24)+7425224905641533823522969250408974792884434 (n^25)+2843367741942140922093698660861113923900963 (n^26)+1011168561548543796801655543741138811011507 (n^27)+334201980134186841985596581694146281914418 (n^28)+102717210317860109532509242812022564194860 (n^29)+29370354351546973498662057262843294604096 (n^30)+7814863828387728382126093354840716158868 (n^31)+1935205500844458362351907362574701252076 (n^32)+445970814156252687541717555256393051710 (n^33)+95625156036928688663360232186306822077 (n^34)+19070756523821114762082917501786328629 (n^35)+3535622715616424883553216938987081532 (n^36)+608924288966351008440912039102146104 (n^37)+97336892660236397648749897843495650 (n^38)+14425803764696881833933919196754354 (n^39)+1979652359568410734625780917990814 (n^40)+251164938768336941770845524474110 (n^41)+29408294486395333803864974921629 (n^42)+3171106066171398274360702357901 (n^43)+314139274560185545478142702954 (n^44)+28508357961055344546198016916 (n^45)+2362252408109032902335223380 (n^46)+178036706377314851710827640 (n^47)+12149450550976441759660448 (n^48)+746700160166119020800866 (n^49)+41068868731260336676891 (n^50)+2005971167965587366107 (n^51)+86201183906778839132 (n^52)+3221230995223510058 (n^53)+103140014798676940 (n^54)+2775465779235692 (n^55)+61145713649888 (n^56)+1062388816288 (n^57)+13746710944 (n^58)+120074336 (n^59)+576832 (n^60)+768 (n^61)) f[6+n]+(-205329880537617010501022298748747776000-2696078286141154627238041660556732006400 n-13446746876280445907576988016652310282240 (n^2)-9572101437141628816667721484850492866560 (n^3)+280182940654525918506623162238291749634048 (n^4)+2094095152538489412154535455992036382212096 (n^5)+9063043112286942735738908649797197564280832 (n^6)+28763695575379100484547551886516377655984128 (n^7)+72587277948926887578249012833148937342402560 (n^8)+151848308039043719353760639271736941736587264 (n^9)+270228635931765132109743959410128481769127936 (n^10)+416475851930582110790956894347255568214041600 (n^11)+563273528848780505801853290651985532735597568 (n^12)+675378713606734164964894487190643586775823616 (n^13)+723772257202863431434275435199614271966064896 (n^14)+697846465839303446043836853429870244915884800 (n^15)+608706380872990973730902890434221992542828992 (n^16)+482560435172785135279241439251298345923241248 (n^17)+349054980225759116262635139230522365632991808 (n^18)+231147595596532620592379457194557347102467288 (n^19)+140536192755338951691788258703532233289176732 (n^20)+78644201689438279267336949795701480453983370 (n^21)+40593143275902089690541181091180591688214746 (n^22)+19361740620088456118995567543717926580867170 (n^23)+8547241017147324196672102915309670663358310 (n^24)+3496868703574705660432884441070148864445574 (n^25)+1327376171171369752308048746304225126827565 (n^26)+467923258436459092038397095600958333553789 (n^27)+153301662682604734680685528474464248493050 (n^28)+46704858741585641410966274980319548456852 (n^29)+13237336261385959202565843547692916281036 (n^30)+3491195603476702931319945067604568162828 (n^31)+856894095632874258492412142645342853768 (n^32)+195720752557255112678769676790740646042 (n^33)+41592327466920617640131171642573300047 (n^34)+8220478083640342014901813382323247819 (n^35)+1510281458336947632567400840635396600 (n^36)+257744957982899404990201966847018128 (n^37)+40823363729408037724579306410090910 (n^38)+5994359838556501099719702325281158 (n^39)+814944222044225628890907403778678 (n^40)+102422776251835173864123492495018 (n^41)+11878625574103989575227584857771 (n^42)+1268598347854663415431294550179 (n^43)+124454005507987360466745640362 (n^44)+11183726605231249216080033340 (n^45)+917531675574530213244008152 (n^46)+68459846335433575358003800 (n^47)+4624495807310652011314684 (n^48)+281309213929495034504854 (n^49)+15311862610709369056793 (n^50)+740055853160834519261 (n^51)+31464751682713946856 (n^52)+1163191934453543606 (n^53)+36840351024083332 (n^54)+980508441304116 (n^55)+21362825138432 (n^56)+367049792736 (n^57)+4696674016 (n^58)+40576224 (n^59)+192960 (n^60)+256 (n^61)) f[7+n]==0;

SolveRecurrence[rec,f[n],IndefiniteSummation->False,SigmaPrint->True]

SigmaReduce[(Underoverscript[(∑^(.)), ((Subscript[ι, 1])=4), n])((6+2 (Subscript[ι, 1])-3 (Subscript[ι, 1]^2)+6 (Subscript[ι, 1]^3)+(Subscript[ι, 1]^4))/((((-1+(Subscript[ι, 1])))^3) (Subscript[ι, 1]) (((1+(Subscript[ι, 1])))^3)))]

recSol=SolveRecurrence[rec,f[n],IndefiniteSummation->True,SigmaPrint->True]

recSol=SolveRecurrence[rec,f[n],MinInitialValue->1,SigmaPrint->True]

sol=FindLinearCombination[recSol,{3,{-(63653/3888),-(8802581/486000),-(5234029/270000),-(13978373/686000),-(15827913259/746807040),-(1578915745223/72013536000),-(95194737209/4219543125)}},n,7]

Telescoping

Example 1

mySum=SigmaSum[SigmaHNumber[k],{k,1,n}]

SigmaReduce[mySum]

mySum=SigmaSum[SigmaHNumber[k]^2,{k,1,n}]

SigmaReduce[mySum]

mySum=SigmaSum[SigmaHNumber[k]^3,{k,1,n}]

SigmaReduce[mySum]

mySum=SigmaSum[SigmaHNumber[k]^4,{k,1,n}]

SigmaReduce[mySum]

res=SigmaReduce[mySum,SimplifyByExt->DepthNumberDegree]

Example 2

mySum=(Underoverscript[(∑^(.)), (k=1), n])(Subscript[H, k]^2) (Subscript[H, k]^((2)));

res=SigmaReduce[mySum]

mySum-res/.n->10

Example 3

Calkin2=(Underoverscript[(∑^(.)), (k=0), n])((((Underoverscript[(∑^(.)), (i=0), k])(((({{a}, {i}})))^(.))))^2);

res=SigmaReduce[Calkin2]

Example 4

mySum=SigmaSum[SigmaqBinomial[q,k,m]SigmaSum[SigmaPower[q,i]/(1-SigmaPower[q,i]),{i,1,k}]SigmaPower[q,k],{k,m,n}]

sol=SigmaReduce[mySum,qCase->q,Assumptions->{n≥m},SigmaPrint->1]

Creative telescoping

Example 1

Pade2=(Underoverscript[(∑^(.)), (k=0), m])(3 (((-(Subscript[H, k])+(Subscript[H, -k+m])))^2)+(Subscript[H, k]^((2)))+(Subscript[H, -k+m]^((2)))) ((((((({{m}, {k}})))^(.))))^3) (((-1))^(Underscript[k, .]));

CreativeTelescoping[Pade2]

GenerateRecurrence[Pade2]

Apery

(Underoverscript[(∑^(.)), (k=0), n])((((((({{n}, {k}})))^(.))))^2) ((((((({{k+n}, {k}})))^(.))))^2)//GenerateRecurrence

GenerateRecurrence[(Underoverscript[(∑^(.)), (k=0), n])(Subscript[((((({{n}, {k}})))^(.)) (((({{k+n}, {k}})))^(.))), (Subscript[k, .])])^2 ((Subscript[H, n]^((3)))+(Underoverscript[(∑^(.)), (m=1), k])((((-1))^(Underscript[-1+m, .]))/(2 (m^3)(Subscript[((((({{n}, {m}})))^(.)) (((({{m+n}, {m}})))^(.))), (Subscript[m, .])]))))]

Combination

Example 1

mySum=SigmaSum[SigmaHNumber[k]SigmaBinomial[n,k],{k,0,n}]

rec=GenerateRecurrence[mySum]

recSol=SolveRecurrence[rec[[1]],SUM[n],IndefiniteSummation->True]

sol=FindLinearCombination[recSol,mySum,3]

Example 2

mySum=SigmaSum[SigmaqBinomial[q,n,k]SigmaPower[q,Binomial[k,2]]SigmaSum[SigmaPower[q,i]/(1-SigmaPower[q,i]),{i,1,k}],{k,0,n}]

rec=GenerateRecurrence[mySum,qCase->q,SimplifyByExt->None]

recSol=SolveRecurrence[rec[[1]],SUM[n]]

sol=FindLinearCombination[recSol,mySum,2]

{mySum-sol}/.n->4//Together

sol=SigmaReduce[sol,n,Tower->{SigmaqFactorial[-1,q,n]}]

mySum-sol/.n->5//Together

Example 3

mySum=(Underoverscript[(∑^(.)), ({{k=0}}), (2 n)])((((-1))^(Underscript[k, .])) ((((Underoverscript[(∑^(.)), ({{j=0}}), k])((((({{2 n}, {j}})))^(.)))))^3));

rec=GenerateRecurrence[mySum,RecOrder->2,WithMinusPower->True,SimplifyByExt->None]

rec=rec/.{((Underoverscript[(∑^(.)), ({{(Subscript[ι, 1])=0}}), (2 n)])((((({{2 n}, {(Subscript[ι, 1])}})))^(.))))^3->(((64))^(Underscript[n, .])),(((-1))^(Underscript[2 n, .]))->1}

recSol=SolveRecurrence[rec[[1]],SUM[n]]

sol=FindLinearCombination[recSol,mySum,21]